Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Почему динамическое программирование не даёт реального ускорения для сортировки слиянием?

  1. AДинамическое программирование работает только на задачах о графах, но не на массивах
  2. BЕё подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
  3. CУ сортировки слиянием нет рекурсивной структуры
  4. DСортировка слиянием уже работает за O(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Кратчайшие простые пути можно найти за полиномиальное время. Что известно о поиске самого длинного простого пути между двумя вершинами в произвольном графе?

  1. AОна всегда решается за O(V + E)
  2. BЭто NP-трудная задача
  3. CОна неразрешима
  4. DЕё можно решить алгоритмом Дейкстры с отрицательными весами
3.Структуры данныхСредняя

Зачем нужен сторожевой (фиктивный, sentinel) узел в связном списке?

  1. AЧтобы список не мог вырасти сверх фиксированного максимального числа узлов
  2. BЧтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
  3. CЧтобы список был отсортирован
  4. DЧтобы хранить число элементов
4.Структуры данныхСложная

В BST с корнем 50, левым поддеревом 30 (потомки 20, 40) и правым поддеревом 70 (потомки 60, 80) корень удаляют с помощью in-order преемника. Какой ключ станет новым корнем?

  1. A60
  2. B40
  3. C70
  4. D80
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
5156256124ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно

Почему это ответ

Половины в сортировке слиянием не пересекаются, и каждая решается один раз; ДП помогает только при повторяющихся подзадачах, как в числах Фибоначчи.

Ответ

B · Её подзадачи не перекрываются, поэтому нечего использовать повторно
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Это NP-трудная задача

Почему это ответ

Самый длинный простой путь длины V − 1 — гамильтонов путь, а это NP-полная задача; однако на ориентированных ациклических графах она решается за линейное время.

Ответ

B · Это NP-трудная задача
3.Структуры данных

Ответ: B · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте

Почему это ответ

Со сторожевым узлом у каждого реального узла есть предшественник, поэтому вставка или удаление в голове не требуют особой обработки.

Ответ

B · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
4.Структуры данных

Ответ: A · 60

Почему это ответ

Самый левый узел правого поддерева — 60, поэтому 60 заменяет 50, а его прежняя позиция удаляется; при использовании предшественника получилось бы 40.

Ответ

A · 60
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 12

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 5, C: 1
C (1): E: 7, G: 7
B (5): D: 10
E (7)
G (7)
D (10): F: 12
F (12)

Кратчайший путь

A → B → D → F
d(F) = 12

Ответ

d(F) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms