Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов
двоичная 2k, восьмеричная 8k, шестнадцатеричная 16k
В десятичную
Σ dk·bk
Из десятичной
делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная
одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код
инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток
теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Триггеры
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики
n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Асинхронный счётчик
fmax = 1/(n·tpd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона
n и 2n состояний

Метод

  1. Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
  2. Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
  3. Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
  4. Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Ложная частота
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Шаг квантования
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление)
±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка
D = ⌊Vin/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r
2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных
каналы × fs × N bit/s
АЦП с мультиплексором
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи
baud = fclk/(16·D)

Метод

  1. Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
  2. В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с fs/2; более высокая частота появляется как fa = |f − k·fs| с ближайшим кратным fs.
  3. В задачах на разрешение найдите 1 LSB = VFSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
  4. Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя
8-битный дополнительный код0−12806403201608040201

Установите биты так, чтобы они хранили −19 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −198 bit
U =
2.Системы счисленияСложная
24 bit1 px800 px600 pxM = ? KiB

Несжатое изображение имеет размер 800 × 600 пикселей и 24 бит на пиксель. Сколько памяти M оно занимает, в KiB (1 KiB = 1024 байта)?

800 × 600 px24 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя
ABCD000111100001111011111111

На этой карте Карно ровно у одной единицы нет соседней единицы, поэтому в минимальной форме SOP она остаётся группой из одной клетки (полным минтермом из четырёх литералов). Соседи через края карты учитываются. Нажмите на эту клетку.

F = Σm(0, 3, 5, 8, 10, 13, 14, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная
ABCD00011110000111100011030204X5X7061120131151141809111X10

Для F(A, B, C, D) = Σm(1, 8, 11, 12, 14, 15) + d(5, 7, 10), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 8, 11, 12, 14, 15) + d(5, 7, 10)
N =
5.Сбор данных и дискретизацияСредняя
Vin​N = 105 V2ᴺ − 101 LSB3,407 V?

10-разрядный АЦП с диапазоном входа от 0 до 5 V отбрасывает остаток: его выходной код равен ⌊Vin/LSB⌋ при 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Найдите десятичный выходной код D для входного напряжения 3,407 V.

N = 10VFSR = 5 VVin = 3,407 V
D =
6.Сбор данных и дискретизацияСложная
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​12 MHz / (16·D)

Микроконтроллер с тактовой частотой 12 MHz задаёт скорость UART как fclk/(16·D), где D — целое число, округлённое до ближайшего значения. Целевая скорость — 115200 бод. Найдите относительную погрешность реальной скорости в бодах в процентах (положительную, если она слишком высока).

fclk = 12 MHzцелевая = 115200 Bd
e = %

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 237

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

19 = 0001 0011
инвертировано: 1110 1100
+1 → 1110 1101

Прочитайте как беззнаковое

1110 1101₂ = 256 − 19 = 237

Ответ

U = 237
2.Системы счисления

Ответ: M = 1406 KiB

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Биты и байты

800·600·24 = 11520000 bit = 1440000 B

Переведите в KiB

1440000/1024 = 1406,25 KiB

Ответ

M = 1406,25 KiB
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: AB = 00, CD = 11

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Соседи каждой единицы

Единица с соседней единицей может войти в группу из двух или более.

m3: m2, m1, m7, m11 → 0
ABCD000111100001111011111111

Изолированная единица

m3 = A′B′CD → AB = 00, CD = 11

Ответ

AB = 00, CD = 11
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

BCD, AD′, AC, A′C′D
ABCD00011110000111100011030204X5X7061120131151141809111X10

Существенные простые импликанты

AD′, AC, A′C′D
N = 3

Ответ

N = 3
5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: D = 697

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы VFSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = VFSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Шаг квантования

1 LSB = 5/210 = 4,883 mV

Код

Vin/LSB = 3407/4,883 = 697,8
код = ⌊697,8⌋ = 697

Ответ

D = 697

В двоичном виде это 1010111001.

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: e = −6,994 %

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится Tb = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = fclk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Делитель

D = 12·10⁶/(16·115200) = 6,51 → 7

Реальная скорость в бодах

12·10⁶/(16·7) = 107143 Bd

Погрешность

(107143 − 115200)/115200·100 = −6,994 %

Ответ

e = −6,994 %

Погрешность выше примерно 2 % делает канал ненадёжным: выберите другую тактовую частоту или скорость.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics