Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов: двоичная 2^k, восьмеричная 8^k, шестнадцатеричная 16^k
В десятичную: Σ d_k·b^k
Из десятичной: делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная: одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код: инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя

Установите биты так, чтобы они хранили −109 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −1098 bit

U =

2.Системы счисленияСложная

Установите биты в 8-битный результат операции 1000 1010 AND 1101 1101. Чему равно значение результата R в десятичной системе?

1000 1010AND1101 1101

R =

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3). Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3)

N =

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

4-разрядный сдвиговый регистр Q₃Q₂Q₁Q₀ содержит 1001. По каждому фронту тактового сигнала биты сдвигаются на одну позицию вправо (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀, Q₀ теряется), а последовательный вход поступает в Q₃. Последовательный вход равен 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 на 7 фронтах. Укажите итоговое состояние Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ в виде десятичного числа.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10010, 0, 0, 0, 0, 0, 1

Q =

5.Сбор данных и дискретизацияСредняя

UART передаёт байты на скорости 4800 бод в формате 8N2: 8 битов данных, без бита чётности и 2 стоповых бит, плюс стартовый бит. Найдите наибольшее число байт данных в секунду, которое он может передать.

baud = 4800 Bd8N2

R_B = B/s

6.Сбор данных и дискретизацияСложная

Микроконтроллер с тактовой частотой 4 MHz задаёт скорость UART как f_clk/(16·D), где D — целое число, округлённое до ближайшего значения. Целевая скорость — 4800 бод. Найдите относительную погрешность реальной скорости в бодах в процентах (положительную, если она слишком высока).

f_clk = 4 MHzцелевая = 4800 Bd

e = %

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 147

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

109 = 0110 1101

инвертировано: 1001 0010

+1 → 1001 0011

Прочитайте как беззнаковое

1001 0011₂ = 256 − 109 = 147

Ответ

U = 147

2.Системы счисления

Ответ: R = 136

Бит за битом

AND даёт 1 только там, где оба бита равны 1.

1000 1010

AND 1101 1101

= 1000 1000

Значение результата

1000 1000₂ = 136

Ответ

R = 136

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

A′C

A′B′

Минимальная форма SOP

F = A′C + A′B′

N = 2

Ответ

N = 2

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 8

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Состояние после каждого фронта

1001 → 0100 → 0010 → 0001 → 0000 → 0000 → 0000 → 1000

Десятичное значение

1000₂ = 8

Ответ

Q = 8

5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: R_B = 436,4 B/s

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Бит в кадре

1 + 8 + 0 + 2 = 11

Скорость в байтах

4800/11 = 436,4 B/s

Ответ

R_B = 436,4 B/s

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: e = 0,1603 %

Делитель

D = 4·10⁶/(16·4800) = 52,08 → 52

Реальная скорость в бодах

4·10⁶/(16·52) = 4808 Bd

Погрешность

(4808 − 4800)/4800·100 = 0,1603 %

Ответ

e = 0,1603 %

Погрешность ниже примерно 2 % обычно допустима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics