Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов
двоичная 2k, восьмеричная 8k, шестнадцатеричная 16k
В десятичную
Σ dk·bk
Из десятичной
делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная
одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код
инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток
теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Триггеры
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики
n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Асинхронный счётчик
fmax = 1/(n·tpd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона
n и 2n состояний

Метод

  1. Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
  2. Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
  3. Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
  4. Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Ложная частота
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Шаг квантования
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление)
±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка
D = ⌊Vin/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r
2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных
каналы × fs × N bit/s
АЦП с мультиплексором
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи
baud = fclk/(16·D)

Метод

  1. Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
  2. В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с fs/2; более высокая частота появляется как fa = |f − k·fs| с ближайшим кратным fs.
  3. В задачах на разрешение найдите 1 LSB = VFSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
  4. Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя
8-битный дополнительный код0−12806403201608040201

Установите биты так, чтобы они хранили −18 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −188 bit
U =
2.Системы счисленияСложная
нажимайте на биты, чтобы установить их012806403201608040201

Установите биты в 8-битный результат операции 1100 0100 AND 0111 0101. Чему равно значение результата R в десятичной системе?

1100 0100AND0111 0101
R =
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя
ABCD000111100001111010011302140517161120130150140809011110

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 7, 10, 12). Сколько всего литералов, L, она содержит (переменная со штрихом считается одним литералом)?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 6, 7, 10, 12)
L =
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная
CLKJK123456

Триггер JK, срабатывающий по переднему фронту, начинает с Q = 0 и получает показанные входы на 6 передних фронтах тактового сигнала. Сколько раз, N, Q меняет состояние?

Q₀ = 0JK
N =
5.Сбор данных и дискретизацияСредняя
Vin​N = 83,3 V2ᴺ − 101 LSB0,88 V?

8-разрядный АЦП с диапазоном входа от 0 до 3,3 V отбрасывает остаток: его выходной код равен ⌊Vin/LSB⌋ при 1 LSB = VFSR/2ᴺ. Найдите десятичный выходной код D для входного напряжения 0,88 V.

N = 8VFSR = 3,3 VVin = 0,88 V
D =
6.Сбор данных и дискретизацияСложная
T10 mV/°C×20∿01N = 10, 10 V? °C/LSB

Датчик температуры выдаёт 10 mV/°C (0 V при 0 °C). Его сигнал усиливается в 20 раз и подаётся на 10-разрядный АЦП с диапазоном от 0 до 10 V (1 LSB = VFSR/2ᴺ). Найдите изменение температуры ΔTLSB, соответствующее одному LSB.

S = 10 mV/°CG = 20N = 10VFSR = 10 V
ΔTLSB = °C

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 238

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

18 = 0001 0010
инвертировано: 1110 1101
+1 → 1110 1110

Прочитайте как беззнаковое

1110 1110₂ = 256 − 18 = 238

Ответ

U = 238
2.Системы счисления

Ответ: R = 68

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Бит за битом

AND даёт 1 только там, где оба бита равны 1.

1100 0100
AND 0111 0101
= 0100 0100

Значение результата

0100 0100₂ = 68

Ответ

R = 68
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 16

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

ABCD000111100001111010011302140517161120130150140809011110

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

BC′D′
A′C′D′
A′CD
A′BD′
AB′CD′

Минимальная форма SOP

F = BC′D′ + A′C′D′ + A′CD + A′BD′ + AB′CD′
L = 16

Ответ

L = 16

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте fclk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Q после каждого фронта

JK-триггер: 00 сохраняет, 01 сбрасывает (Q = 0), 10 устанавливает (Q = 1), 11 переключает.

1: J = 1, K = 1 → Q = 1
2: J = 1, K = 0 → Q = 1
3: J = 1, K = 0 → Q = 1
4: J = 1, K = 0 → Q = 1
5: J = 0, K = 0 → Q = 1
6: J = 0, K = 1 → Q = 0

Посчитайте изменения

0 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 0
N = 2

Ответ

N = 2
5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: D = 68

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы VFSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = VFSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Шаг квантования

1 LSB = 3,3/28 = 12,89 mV

Код

Vin/LSB = 880/12,89 = 68,27
код = ⌊68,27⌋ = 68

Ответ

D = 68

В двоичном виде это 01000100.

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: ΔTLSB = 0,04883 °C

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы VFSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = VFSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Шаг квантования

1 LSB = 10000/1024 = 9,766 mV

Чувствительность на входе АЦП

10·20 = 200 mV/°C

Температурное разрешение

ΔTLSB = 9,766/200 = 0,04883 °C

Ответ

ΔTLSB = 0,04883 °C

АЦП достигает полной шкалы при 50 °C.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics