Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов
двоичная 2k, восьмеричная 8k, шестнадцатеричная 16k
В десятичную
Σ dk·bk
Из десятичной
делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная
одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код
инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток
теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Триггеры
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики
n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Асинхронный счётчик
fmax = 1/(n·tpd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона
n и 2n состояний

Метод

  1. Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
  2. Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
  3. Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
  4. Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Ложная частота
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Шаг квантования
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление)
±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка
D = ⌊Vin/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r
2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных
каналы × fs × N bit/s
АЦП с мультиплексором
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи
baud = fclk/(16·D)

Метод

  1. Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
  2. В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с fs/2; более высокая частота появляется как fa = |f − k·fs| с ближайшим кратным fs.
  3. В задачах на разрешение найдите 1 LSB = VFSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
  4. Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя
8-битный дополнительный код0−12806403201608040201

Установите биты так, чтобы они хранили −70 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −708 bit
U =
2.Системы счисленияСложная
16-битный дополнительный код, N = ??знак???????????????

Какое наименьшее (самое отрицательное) целое число N можно записать в 16-битном дополнительном коде?

16 bit
N =
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя
ABCD0001111000011110111111

На этой карте Карно ровно у одной единицы нет соседней единицы, поэтому в минимальной форме SOP она остаётся группой из одной клетки (полным минтермом из четырёх литералов). Соседи через края карты учитываются. Нажмите на эту клетку.

F = Σm(1, 2, 3, 4, 10, 14)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная
ABCD00011110000111101001030204150716012X131150141819111X10

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 8, 9, 11, 15) + d(10, 13), где d обозначает безразличные состояния. Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 5, 6, 8, 9, 11, 15) + d(10, 13)
N =
5.Сбор данных и дискретизацияСредняя
Vin​N = ?120 °C2ᴺ − 10≤ 0,25 °C

Датчик измеряет температура в диапазоне 120 °C, и его выход заполняет весь диапазон входа АЦП. Показание должно различать 0,25 °C. Найдите наименьшее число разрядов N, которое нужно АЦП.

диапазон = 120 °Cразрешение = 0,25 °C
N =
6.Сбор данных и дискретизацияСложная
124⋮4 ch∿01tc​ = 1 µstset​ = 2 µsfs​ = ?

4-канальный мультиплексор подаёт сигналы на один АЦП. Каждое преобразование занимает 1 µs, а после каждого переключения канала входу нужно 2 µs для установления. Каналы опрашиваются по очереди без пауз. Найдите частоту дискретизации fs каждого канала в kHz.

n = 4tc = 1 µstset = 2 µs
fs = kHz

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 186

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

70 = 0100 0110
инвертировано: 1011 1001
+1 → 1011 1010

Прочитайте как беззнаковое

1011 1010₂ = 256 − 70 = 186

Ответ

U = 186
2.Системы счисления

Ответ: N = −32768

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Самое отрицательное значение

−215 = −32768

Ответ

N = −32768
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: AB = 01, CD = 00

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Соседи каждой единицы

Единица с соседней единицей может войти в группу из двух или более.

m4: m5, m6, m0, m12 → 0
ABCD0001111000011110111111

Изолированная единица

m4 = A′BC′D′ → AB = 01, CD = 00

Ответ

AB = 01, CD = 00
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′C′D′, BC′D, AD, AB′, A′BCD′
ABCD00011110000111101001030204150716012X131150141819111X10

Минимальное покрытие

F = B′C′D′ + BC′D + AD + A′BCD′
N = 4

Ответ

N = 4
5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: N = 9

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы VFSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = VFSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Необходимое число шагов

120/0,25 = 480

Разряды

log₂(480) = 8,907
28 = 256 < 480 ≤ 29 = 512
N = 9

Ответ

N = 9
6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: fs = 83,33 kHz

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт fs отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × fs × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × fs × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Время на канал

1 + 2 = 3 µs

Время на опрос

4·3 = 12 µs

Частота дискретизации на канал

fs = 1/12 µs = 83,33 kHz

Ответ

fs = 83,33 kHz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics