Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов: двоичная 2^k, восьмеричная 8^k, шестнадцатеричная 16^k
В десятичную: Σ d_k·b^k
Из десятичной: делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная: одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код: инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя

Запишите −53 как 8-битную комбинацию в дополнительном коде. Прочитайте комбинацию как беззнаковое двоичное число: каково его значение U в десятичной системе?

N = −538 bit

U =

2.Системы счисленияСложная

Несжатое изображение имеет размер 256 × 256 пикселей и 16 бит на пиксель. Сколько памяти M оно занимает, в KiB (1 KiB = 1024 байта)?

256 × 256 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

У мультиплексора 4 в 1 адресные входы S₁ = A и S₀ = B, а информационные входы подключены так: I₀ = C′, I₁ = C′, I₂ = 0, I₃ = C′. Для скольких из 8 комбинаций A, B и C выход F = 1? Найдите N.

I₀ = C′I₁ = C′I₂ = 0I₃ = C′

N =

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Для F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 8, 10, 12) + d(9, 11, 13), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 8, 10, 12) + d(9, 11, 13)

N =

5.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Регистратор дискретизирует один канал с частотой 25 kHz с помощью 10-разрядного АЦП. Каждый отсчёт хранится в целом числе байт. Найдите объём памяти M, необходимый для записи длительностью 10 min, в MB (1 MB = 10⁶ байт).

n = 1f_s = 25 kHzN = 10t = 10 min

M = MB

6.Сбор данных и дискретизацияСложная

Для аудиоизмерения нужно идеальное отношение сигнал/шум квантования не менее 75 dB для синусоиды на полной шкале. Найдите наименьшее число разрядов АЦП N.

SQNR ≥ 75 dB

N =

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 203

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Инвертируйте и прибавьте единицу

53 = 0011 0101

инвертировано: 1100 1010

+1 → 1100 1011

Прочитайте как беззнаковое

1100 1011₂ = 256 − 53 = 203

Ответ

U = 203

2.Системы счисления

Ответ: M = 128 KiB

Биты и байты

256·256·16 = 1048576 bit = 131072 B

Переведите в KiB

131072/1024 = 128 KiB

Ответ

M = 128 KiB

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Мультиплексор: мультиплексор 2ⁿ в 1 передаёт на выход один из своих информационных входов; адресные входы, читаемые как двоичное число, выбирают, какой именно. Для мультиплексора 4 в 1 с адресами S₁S₀ = AB: F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Если подключить информационные входы к 0, 1, C или C′, мультиплексор реализует любую функцию от A, B и C, что — распространённый способ построить логику на одной микросхеме.

Выражение выхода

F = A′B′C′ + A′BC′ + ABC′

Строки с F = 1

ABC = 000, 010, 110

N = 3

Ответ

N = 3

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

BC′D′, AC′, AB′, A′BD′

Существенные простые импликанты

AB′, A′BD′

N = 2

Ответ

N = 2

5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: M = 30 MB

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт f_s отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × f_s × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × f_s × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Байт на отсчёт

⌈10/8⌉ = 2 B

Скорость в байтах

1·25000·2 = 50000 B/s

Память

M = 50000·600 = 3 × 10⁷ B = 30 MB

Ответ

M = 30 MB

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: N = 13

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Решите относительно N

N ≥ (75 − 1,76)/6,02 = 12,17

Округлите вверх

N = 13

проверка: 6,02·13 + 1,76 = 80,02 dB ≥ 75 dB

Ответ

N = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics