Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов
двоичная 2k, восьмеричная 8k, шестнадцатеричная 16k
В десятичную
Σ dk·bk
Из десятичной
делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная
одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код
инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток
теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Триггеры
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики
n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Асинхронный счётчик
fmax = 1/(n·tpd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона
n и 2n состояний

Метод

  1. Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
  2. Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
  3. Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
  4. Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Ложная частота
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Шаг квантования
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление)
±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка
D = ⌊Vin/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r
2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных
каналы × fs × N bit/s
АЦП с мультиплексором
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи
baud = fclk/(16·D)

Метод

  1. Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
  2. В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с fs/2; более высокая частота появляется как fa = |f − k·fs| с ближайшим кратным fs.
  3. В задачах на разрешение найдите 1 LSB = VFSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
  4. Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя
8-битный дополнительный код?−128?64?32?16?8?4?2?1

Запишите −68 как 8-битную комбинацию в дополнительном коде. Прочитайте комбинацию как беззнаковое двоичное число: каково его значение U в десятичной системе?

N = −688 bit
U =
2.Системы счисленияСложная
нажимайте на биты, чтобы установить их012806403201608040201

Установите биты в 8-битный результат операции 1110 1000 AND 0010 0011. Чему равно значение результата R в десятичной системе?

1110 1000AND0010 0011
R =
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя
ABC00011110011001131204051716

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 6, 7). Сколько всего литералов, L, она содержит (переменная со штрихом считается одним литералом)?

F(A, B, C) = Σm(0, 2, 3, 6, 7)
L =
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная
ABCD00011110000111100011X302140517060120131150140819011X10

Для F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 7, 9, 15) + d(3, 10), где d обозначает безразличные состояния, найдите число N существенных простых импликант.

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 7, 9, 15) + d(3, 10)
N =
5.Сбор данных и дискретизацияСредняя
128⋮8 ch∿01N = 2450 kHz? MB

Регистратор дискретизирует 8 каналов с частотой 50 kHz каждый с помощью 24-разрядного АЦП. Каждый отсчёт хранится в целом числе байт. Найдите объём памяти M, необходимый для записи длительностью 5 min, в MB (1 MB = 10⁶ байт).

n = 8fs = 50 kHzN = 24t = 5 min
M = MB
6.Сбор данных и дискретизацияСложная
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​PTb​11·Tb​115200 Bd, 8E1

24-разрядный АЦП передаёт каждый отсчёт по UART на скорости 115200 бод в формате 8E1 (стартовый бит, 8 битов данных, бит чётности, 1 стоповый бит). Каждый отсчёт передаётся 3 целыми байтами, и канал занят всё время. Найдите наивысшую частоту сигнала fmax, которую можно дискретизировать без наложения спектров, в Hz.

baud = 115200 BdN = 248E1
fmax = Hz

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 188

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Инвертируйте и прибавьте единицу

68 = 0100 0100
инвертировано: 1011 1011
+1 → 1011 1100

Прочитайте как беззнаковое

1011 1100₂ = 256 − 68 = 188

Ответ

U = 188
2.Системы счисления

Ответ: R = 32

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Бит за битом

AND даёт 1 только там, где оба бита равны 1.

1110 1000
AND 0010 0011
= 0010 0000

Значение результата

0010 0000₂ = 32

Ответ

R = 32
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 3

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

ABC00011110011001131204051716

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

B
A′C′

Минимальная форма SOP

F = B + A′C′
L = 3

Ответ

L = 3
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′C′D, BCD, A′CD, A′B′D, A′BC′D′
ABCD00011110000111100011X302140517060120131150140819011X10

Существенные простые импликанты

B′C′D, BCD, A′BC′D′
N = 3

Ответ

N = 3
5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: M = 360 MB

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт fs отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × fs × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × fs × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Байт на отсчёт

⌈24/8⌉ = 3 B

Скорость в байтах

8·50000·3 = 1,2 × 10⁶ B/s

Память

M = 1,2 × 10⁶·300 = 3,6 × 10⁸ B = 360 MB

Ответ

M = 360 MB
6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: fmax = 1745 Hz

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится Tb = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = fclk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Бит на отсчёт на линии

3·11 = 33 bit

Наивысшая частота дискретизации

fs,max = 115200/33 = 3491 Hz

Предел Найквиста

fmax = 3491/2 = 1745 Hz

Ответ

fmax = 1745 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics