Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов: двоичная 2^k, восьмеричная 8^k, шестнадцатеричная 16^k
В десятичную: Σ d_k·b^k
Из десятичной: делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная: одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код: инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя

Установите биты так, чтобы они хранили −27 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −278 bit

U =

2.Системы счисленияСложная

Установите биты в 8-битный результат операции 0111 0110 OR 1010 1110. Чему равно значение результата R в десятичной системе?

0111 0110OR1010 1110

R =

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = A′B′C + A′BC′ + AC′ + ABC до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = A′B′C + A′BC′ + AC′ + ABC

L =

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 9, 11, 12) + d(7, 8), где d обозначает безразличные состояния. Сколько литералов, L, она содержит?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 9, 11, 12) + d(7, 8)

L =

5.Сбор данных и дискретизацияСредняя

12-разрядный АЦП с диапазоном входа от 0 до 10 V отбрасывает остаток: его выходной код равен ⌊V_in/LSB⌋ при 1 LSB = V_FSR/2ᴺ. Найдите десятичный выходной код D для входного напряжения 6,671 V.

N = 12V_FSR = 10 VV_in = 6,671 V

D =

6.Сбор данных и дискретизацияСложная

Для аудиоизмерения нужно идеальное отношение сигнал/шум квантования не менее 60 dB для синусоиды на полной шкале. Найдите наименьшее число разрядов АЦП N.

SQNR ≥ 60 dB

N =

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 229

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

27 = 0001 1011

инвертировано: 1110 0100

+1 → 1110 0101

Прочитайте как беззнаковое

1110 0101₂ = 256 − 27 = 229

Ответ

U = 229

2.Системы счисления

Ответ: R = 254

Бит за битом

OR даёт 1 там, где хотя бы один бит равен 1.

0111 0110

OR 1010 1110

= 1111 1110

Значение результата

1111 1110₂ = 254

Ответ

R = 254

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 9

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

A′B′C → m(1)

A′BC′ → m(2)

AC′ → m(4, 6)

ABC → m(7)

Сгруппируйте и прочитайте

F = BC′ + AC′ + AB + A′B′C

Посчитайте литералы

L = 9

Ответ

L = 9

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 9

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′C′D, A′C′D, AC′D′, A′BD, AB′D, AB′C′

Минимальное покрытие

F = A′C′D + AC′D′ + AB′D

L = 9

Ответ

L = 9

5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: D = 2732

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Шаг квантования

1 LSB = 10/2¹² = 2,441 mV

Код

V_in/LSB = 6671/2,441 = 2732

код = ⌊2732⌋ = 2732

Ответ

D = 2732

В двоичном виде это 101010101100.

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: N = 10

Решите относительно N

N ≥ (60 − 1,76)/6,02 = 9,674

Округлите вверх

N = 10

проверка: 6,02·10 + 1,76 = 61,96 dB ≥ 60 dB

Ответ

N = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics