Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов
двоичная 2k, восьмеричная 8k, шестнадцатеричная 16k
В десятичную
Σ dk·bk
Из десятичной
делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная
одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код
инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно
00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток
теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
Триггеры
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики
n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; fout = fclk/N
Асинхронный счётчик
fmax = 1/(n·tpd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона
n и 2n состояний

Метод

  1. Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
  2. Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
  3. Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
  4. Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста
fs > 2·fmax, fN = fs/2
Ложная частота
fa = |f − k·fs|, k = round(f/fs)
Шаг квантования
1 LSB = VFSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление)
±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка
D = ⌊Vin/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r
2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале
SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных
каналы × fs × N bit/s
АЦП с мультиплексором
fs = 1/(n·(tc + tset))
UART
Tb = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи
baud = fclk/(16·D)

Метод

  1. Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
  2. В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с fs/2; более высокая частота появляется как fa = |f − k·fs| с ближайшим кратным fs.
  3. В задачах на разрешение найдите 1 LSB = VFSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
  4. Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя
8-битный дополнительный код0−12806403201608040201

Установите биты так, чтобы они хранили −101 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −1018 bit
U =
2.Системы счисленияСложная
16 bit1 px1280 px720 pxM = ? KiB

Несжатое изображение имеет размер 1280 × 720 пикселей и 16 бит на пиксель. Сколько памяти M оно занимает, в KiB (1 KiB = 1024 байта)?

1280 × 720 px16 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя
ABC000111100101324576

Упростите F = BC + AC + A′BC′ до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = BC + AC + A′BC′
L =
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная
FFQ0​Q0​FFQ1​Q1​FFQ2​Q2​FFQ3​Q3​CLKMOD-16

Тактовый сигнал 20 kHz управляет счётчиком по модулю 16. Найдите частоту fout его старшего выхода, который завершает один цикл за один цикл счёта.

fclk = 20 kHzN = 16
fout = kHz
5.Сбор данных и дискретизацияСредняя
Vin​N = 16VFSR​2ᴺ − 101 LSB

Найдите идеальное отношение сигнал/шум квантования SQNR 16-разрядного АЦП для синусоиды на полной шкале.

N = 16
SQNR = dB
6.Сбор данных и дискретизацияСложная
SD0​D1​D2​D3​D4​D5​D6​D7​1/fbaud​2 MHz / (16·D)

Микроконтроллер с тактовой частотой 2 MHz задаёт скорость UART как fclk/(16·D), где D — целое число, округлённое до ближайшего значения. Целевая скорость — 19200 бод. Найдите относительную погрешность реальной скорости в бодах в процентах (положительную, если она слишком высока).

fclk = 2 MHzцелевая = 19200 Bd
e = %

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 155

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

101 = 0110 0101
инвертировано: 1001 1010
+1 → 1001 1011

Прочитайте как беззнаковое

1001 1011₂ = 256 − 101 = 155

Ответ

U = 155
2.Системы счисления

Ответ: M = 1800 KiB

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Биты и байты

1280·720·16 = 14745600 bit = 1843200 B

Переведите в KiB

1843200/1024 = 1800 KiB

Ответ

M = 1800 KiB
3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 4

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

BC → m(3, 7)
AC → m(5, 7)
A′BC′ → m(2)
ABC00011110010001131204151706

Сгруппируйте и прочитайте

F = AC + A′B

Посчитайте литералы

L = 4

Ответ

L = 4
4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: fout = 1,25 kHz

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте fclk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Деление частоты

fout = 20 kHz / 16 = 1,25 kHz

Ответ

fout = 1,25 kHz
5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: SQNR = 98,08 dB

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы VFSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = VFSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊Vin/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Идеальное SQNR

SQNR = 6,02·16 + 1,76 = 98,08 dB

Ответ

SQNR = 98,08 dB
6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: e = −6,994 %

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится Tb = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = fclk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Делитель

D = 2·10⁶/(16·19200) = 6,51 → 7

Реальная скорость в бодах

2·10⁶/(16·7) = 17857 Bd

Погрешность

(17857 − 19200)/19200·100 = −6,994 %

Ответ

e = −6,994 %

Погрешность выше примерно 2 % делает канал ненадёжным: выберите другую тактовую частоту или скорость.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics