Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов: двоичная 2^k, восьмеричная 8^k, шестнадцатеричная 16^k
В десятичную: Σ d_k·b^k
Из десятичной: делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная: одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код: инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя

Установите биты так, чтобы они хранили −2 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −28 bit

U =

2.Системы счисленияСложная

Система должна присвоить каждому из 4350 элементов собственный двоичный код одинаковой длины. Какое наименьшее число битов b нужно?

4350

b = bit

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «произведение сумм» (POS) для F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 5, 8, 10, 11, 12, 14). Сколько членов-сумм (множителей), N, в ней?

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 5, 8, 10, 11, 12, 14)

N =

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Триггер JK, срабатывающий по переднему фронту, начинает с Q = 0 и получает показанные входы на 6 передних фронтах тактового сигнала. Сколько раз, N, Q меняет состояние?

Q₀ = 0JK

N =

5.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Синусоида 85 kHz дискретизируется с частотой 50 kHz без антиэлайзингового фильтра. На какой частоте f_a она появится в отсчётах? Дайте ответ в kHz.

f = 85 kHzf_s = 50 kHz

f_a = kHz

6.Сбор данных и дискретизацияСложная

12-разрядный АЦП передаёт каждый отсчёт по UART на скорости 57600 бод в формате 8E1 (стартовый бит, 8 битов данных, бит чётности, 1 стоповый бит). Каждый отсчёт передаётся 2 целыми байтами, и канал занят всё время. Найдите наивысшую частоту сигнала f_max, которую можно дискретизировать без наложения спектров, в Hz.

baud = 57600 BdN = 128E1

f_max = Hz

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 254

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

2 = 0000 0010

инвертировано: 1111 1101

+1 → 1111 1110

Прочитайте как беззнаковое

1111 1110₂ = 256 − 2 = 254

Ответ

U = 254

2.Системы счисления

Ответ: b = 13 bit

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Степени двойки

2¹² = 4096 < 4350

2¹³ = 8192 ≥ 4350

Ответ

b = 13

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте нули

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

(B′ + C′ + D′)

(A′ + C + D′)

(A + B′ + D)

(A + B + C)

Минимальная форма POS

F = (B′ + C′ + D′)(A′ + C + D′)(A + B′ + D)(A + B + C)

N = 4

Ответ

N = 4

Существует другая группировка того же размера; в ней то же число членов и литералов.

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Q после каждого фронта

JK-триггер: 00 сохраняет, 01 сбрасывает (Q = 0), 10 устанавливает (Q = 1), 11 переключает.

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 0, K = 0 → Q = 0

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 1, K = 0 → Q = 1

6: J = 1, K = 1 → Q = 0

Посчитайте изменения

0 → 0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0

N = 2

Ответ

N = 2

5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_a = 15 kHz

Дискретизация: АЦП измеряет сигнал f_s раз в секунду. По теореме Найквиста–Шеннона частота f фиксируется правильно, только пока f < f_s/2, то есть ниже частоты Найквиста (частоты свёртки), поэтому частота дискретизации должна превышать удвоенную наивысшую частоту сигнала. Более высокая частота не теряется: она проявляется как ложная частота f_a = |f − k·f_s|, где целое число k выбирается так, чтобы результат оказался между 0 и f_s/2. Отсчёты не позволяют различить эти две частоты, поэтому аналоговый антиэлайзинговый фильтр должен удалить всё выше f_s/2 до АЦП.

Частота Найквиста

f_s/2 = 25 kHz < f = 85 kHz

Ближайшее кратное частоты дискретизации

k = round(85/50) = 2

Ложная частота

f_a = |85 − 2·50| = 15 kHz

Ответ

f_a = 15 kHz

Штриховая кривая на рисунке — это ложная частота: она проходит ровно через те же отсчёты.

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_max = 1309 Hz

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Бит на отсчёт на линии

2·11 = 22 bit

Наивысшая частота дискретизации

f_s,max = 57600/22 = 2618 Hz

Предел Найквиста

f_max = 2618/2 = 1309 Hz

Ответ

f_max = 1309 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics