Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов: двоичная 2^k, восьмеричная 8^k, шестнадцатеричная 16^k
В десятичную: Σ d_k·b^k
Из десятичной: делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная: одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код: инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя

Запишите −88 как 8-битную комбинацию в дополнительном коде. Прочитайте комбинацию как беззнаковое двоичное число: каково его значение U в десятичной системе?

N = −888 bit

U =

2.Системы счисленияСложная

Установите биты в 8-битный результат операции 0100 1110 OR 0111 1101. Чему равно значение результата R в десятичной системе?

0100 1110OR0111 1101

R =

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = A′C′ + A′B′C′ + ABC + AB′C до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = A′C′ + A′B′C′ + ABC + AB′C

L =

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Найдите минимальную форму SOP для F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 13) + d(11, 15), где d обозначает безразличные состояния. Сколько литералов, L, она содержит?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 13) + d(11, 15)

L =

5.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Регистратор дискретизирует один канал с частотой 1 kHz с помощью 14-разрядного АЦП. Каждый отсчёт хранится в целом числе байт. Найдите объём памяти M, необходимый для записи длительностью 30 min, в MB (1 MB = 10⁶ байт).

n = 1f_s = 1 kHzN = 14t = 30 min

M = MB

6.Сбор данных и дискретизацияСложная

Прямоугольный сигнал 9 kHz дискретизируется с частотой 50 kHz без антиэлайзингового фильтра. Прямоугольный сигнал содержит нечётные гармоники 3f₁, 5f₁, 7f₁, … На какой частоте f_a его гармоника 5f₁ появится в дискретизированных данных? Дайте ответ в kHz.

f₁ = 9 kHzf_s = 50 kHzгармоника: 5f₁

f_a = kHz

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 168

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Инвертируйте и прибавьте единицу

88 = 0101 1000

инвертировано: 1010 0111

+1 → 1010 1000

Прочитайте как беззнаковое

1010 1000₂ = 256 − 88 = 168

Ответ

U = 168

2.Системы счисления

Ответ: R = 127

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Бит за битом

OR даёт 1 там, где хотя бы один бит равен 1.

0100 1110

OR 0111 1101

= 0111 1111

Значение результата

0111 1111₂ = 127

Ответ

R = 127

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 4

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

A′C′ → m(0, 2)

A′B′C′ → m(0)

ABC → m(7)

AB′C → m(5)

Сгруппируйте и прочитайте

F = A′C′ + AC

Посчитайте литералы

L = 4

Ответ

L = 4

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 13

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Простые импликанты

Самые большие группы, которые можно образовать из единиц и X.

B′C′D′, B′CD, BC′D, AD, AC′, AB′

Минимальное покрытие

F = B′C′D′ + B′CD + BC′D + AC′ + AB′

L = 13

Ответ

L = 13

5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: M = 3,6 MB

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт f_s отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × f_s × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × f_s × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Байт на отсчёт

⌈14/8⌉ = 2 B

Скорость в байтах

1·1000·2 = 2000 B/s

Память

M = 2000·1800 = 3,6 × 10⁶ B = 3,6 MB

Ответ

M = 3,6 MB

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_a = 5 kHz

Дискретизация: АЦП измеряет сигнал f_s раз в секунду. По теореме Найквиста–Шеннона частота f фиксируется правильно, только пока f < f_s/2, то есть ниже частоты Найквиста (частоты свёртки), поэтому частота дискретизации должна превышать удвоенную наивысшую частоту сигнала. Более высокая частота не теряется: она проявляется как ложная частота f_a = |f − k·f_s|, где целое число k выбирается так, чтобы результат оказался между 0 и f_s/2. Отсчёты не позволяют различить эти две частоты, поэтому аналоговый антиэлайзинговый фильтр должен удалить всё выше f_s/2 до АЦП.

Частота гармоники

5f₁ = 5·9 kHz = 45 kHz

Ближайшее кратное частоты дискретизации

m = round(0,9) = 1

Ложная частота

f_a = |45 − 1·50| = 5 kHz

Ответ

f_a = 5 kHz

Ложная частота попадает внутрь полосы сигнала, где её не удалит ни один цифровой фильтр. Помогает только аналоговый фильтр перед АЦП.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics