Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов: двоичная 2^k, восьмеричная 8^k, шестнадцатеричная 16^k
В десятичную: Σ d_k·b^k
Из десятичной: делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная: одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код: инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя

Установите биты так, чтобы они хранили −111 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −1118 bit

U =

2.Системы счисленияСложная

Система должна присвоить каждому из 1575 элементов собственный двоичный код одинаковой длины. Какое наименьшее число битов b нужно?

1575

b = bit

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

У мультиплексора 4 в 1 адресные входы S₁ = A и S₀ = B, а информационные входы подключены так: I₀ = 0, I₁ = C′, I₂ = C′, I₃ = C′. Для скольких из 8 комбинаций A, B и C выход F = 1? Найдите N.

I₀ = 0I₁ = C′I₂ = C′I₃ = C′

N =

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

4-разрядный счётчик Джонсона Q₃Q₂Q₁Q₀ начинает с 0000. По каждому фронту тактового сигнала биты сдвигаются на одну позицию вправо (Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀), а Q₃ получает инверсию Q₀. Укажите состояние Q = Q₃Q₂Q₁Q₀ в виде десятичного числа после 11 фронтов тактового сигнала.

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 000011

Q =

5.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Синусоида 32,5 kHz дискретизируется с частотой 50 kHz без антиэлайзингового фильтра. На какой частоте f_a она появится в отсчётах? Дайте ответ в kHz.

f = 32,5 kHzf_s = 50 kHz

f_a = kHz

6.Сбор данных и дискретизацияСложная

Прямоугольный сигнал 8 kHz дискретизируется с частотой 20 kHz без антиэлайзингового фильтра. Прямоугольный сигнал содержит нечётные гармоники 3f₁, 5f₁, 7f₁, … На какой частоте f_a его гармоника 7f₁ появится в дискретизированных данных? Дайте ответ в kHz.

f₁ = 8 kHzf_s = 20 kHzгармоника: 7f₁

f_a = kHz

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 145

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

111 = 0110 1111

инвертировано: 1001 0000

+1 → 1001 0001

Прочитайте как беззнаковое

1001 0001₂ = 256 − 111 = 145

Ответ

U = 145

2.Системы счисления

Ответ: b = 11 bit

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Степени двойки

2¹⁰ = 1024 < 1575

2¹¹ = 2048 ≥ 1575

Ответ

b = 11

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 3

Мультиплексор: мультиплексор 2ⁿ в 1 передаёт на выход один из своих информационных входов; адресные входы, читаемые как двоичное число, выбирают, какой именно. Для мультиплексора 4 в 1 с адресами S₁S₀ = AB: F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Если подключить информационные входы к 0, 1, C или C′, мультиплексор реализует любую функцию от A, B и C, что — распространённый способ построить логику на одной микросхеме.

Выражение выхода

F = A′BC′ + AB′C′ + ABC′

Строки с F = 1

ABC = 010, 100, 110

N = 3

Ответ

N = 3

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 14

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Состояние после каждого фронта

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111 → 0111 → 0011 → 0001 → 0000 → 1000 → 1100 → 1110

Десятичное значение

1110₂ = 14

Ответ

Q = 14

5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_a = 17,5 kHz

Дискретизация: АЦП измеряет сигнал f_s раз в секунду. По теореме Найквиста–Шеннона частота f фиксируется правильно, только пока f < f_s/2, то есть ниже частоты Найквиста (частоты свёртки), поэтому частота дискретизации должна превышать удвоенную наивысшую частоту сигнала. Более высокая частота не теряется: она проявляется как ложная частота f_a = |f − k·f_s|, где целое число k выбирается так, чтобы результат оказался между 0 и f_s/2. Отсчёты не позволяют различить эти две частоты, поэтому аналоговый антиэлайзинговый фильтр должен удалить всё выше f_s/2 до АЦП.

Частота Найквиста

f_s/2 = 25 kHz < f = 32,5 kHz

Ближайшее кратное частоты дискретизации

k = round(32,5/50) = 1

Ложная частота

f_a = |32,5 − 1·50| = 17,5 kHz

Ответ

f_a = 17,5 kHz

Штриховая кривая на рисунке — это ложная частота: она проходит ровно через те же отсчёты.

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_a = 4 kHz

Частота гармоники

7f₁ = 7·8 kHz = 56 kHz

Ближайшее кратное частоты дискретизации

m = round(2,8) = 3

Ложная частота

f_a = |56 − 3·20| = 4 kHz

Ответ

f_a = 4 kHz

Ложная частота попадает внутрь полосы сигнала, где её не удалит ни один цифровой фильтр. Помогает только аналоговый фильтр перед АЦП.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics