Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов: двоичная 2^k, восьмеричная 8^k, шестнадцатеричная 16^k
В десятичную: Σ d_k·b^k
Из десятичной: делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная: одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код: инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя

Запишите −72 как 8-битную комбинацию в дополнительном коде. Прочитайте комбинацию как беззнаковое двоичное число: каково его значение U в десятичной системе?

N = −728 bit

U =

2.Системы счисленияСложная

Несжатое изображение имеет размер 1920 × 1080 пикселей и 16 бит на пиксель. Сколько памяти M оно занимает, в KiB (1 KiB = 1024 байта)?

1920 × 1080 px16 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

С помощью карты Карно найдите минимальную форму «сумма произведений» (SOP) для F(A, B, C) = Σm(0, 4, 5, 7). Сколько членов-произведений, N, в ней?

F(A, B, C) = Σm(0, 4, 5, 7)

N =

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Триггер T, срабатывающий по переднему фронту, начинает с Q = 0 и получает показанные входы на 8 передних фронтах тактового сигнала. Сколько раз, N, Q меняет состояние?

Q₀ = 0T

N =

5.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Синусоида 5,5 kHz дискретизируется с частотой 10 kHz без антиэлайзингового фильтра. На какой частоте f_a она появится в отсчётах? Дайте ответ в kHz.

f = 5,5 kHzf_s = 10 kHz

f_a = kHz

6.Сбор данных и дискретизацияСложная

16-канальный мультиплексор подаёт сигналы на один АЦП. Каждое преобразование занимает 8 µs, а после каждого переключения канала входу нужно 1 µs для установления. Каналы опрашиваются по очереди без пауз. Найдите частоту дискретизации f_s каждого канала в kHz.

n = 16t_c = 8 µst_set = 1 µs

f_s = kHz

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 184

Позиционные системы счисления: каждая цифра стоит своего значения, умноженного на степень основания. В двоичной системе разряды стоят 1, 2, 4, 8, 16, …, в шестнадцатеричной 1, 16, 256, …, а A–F обозначают 10–15. В 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128 вместо +128; так хранятся отрицательные числа.

Инвертируйте и прибавьте единицу

72 = 0100 1000

инвертировано: 1011 0111

+1 → 1011 1000

Прочитайте как беззнаковое

1011 1000₂ = 256 − 72 = 184

Ответ

U = 184

2.Системы счисления

Ответ: M = 4050 KiB

Биты и байты

1920·1080·16 = 33177600 bit = 4147200 B

Переведите в KiB

4147200/1024 = 4050 KiB

Ответ

M = 4050 KiB

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 2

Карты Карно: клетки упорядочены по коду Грея (00, 01, 11, 10), поэтому соседние клетки, включая те, что через края, отличаются ровно одной переменной. Группируйте единицы в прямоугольники по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, как можно большие и в как можно меньшем числе, пока не будет покрыта каждая единица. Каждая группа — один член-произведение: переменные, которые внутри неё остаются постоянными. Группа из 2ᵏ клеток теряет k переменных. Безразличные состояния (X) можно использовать, чтобы увеличить группы, но покрывать их не обязательно. Если группировать нули, получится минимальная форма POS.

Сгруппируйте единицы

Каждая группа — прямоугольник из 2ᵏ клеток; клетки на краю соседствуют с клетками на противоположном краю.

B′C′

Минимальная форма SOP

F = B′C′ + AC

N = 2

Ответ

N = 2

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: N = 4

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Q после каждого фронта

T-триггер переключается по каждому переднему фронту при T = 1 и сохраняет состояние при T = 0.

1: T = 0 → Q = 0

2: T = 0 → Q = 0

3: T = 0 → Q = 0

4: T = 1 → Q = 1

5: T = 1 → Q = 0

6: T = 1 → Q = 1

7: T = 0 → Q = 1

8: T = 1 → Q = 0

Посчитайте изменения

0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 1 → 1 → 0

N = 4

Ответ

N = 4

5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_a = 4,5 kHz

Дискретизация: АЦП измеряет сигнал f_s раз в секунду. По теореме Найквиста–Шеннона частота f фиксируется правильно, только пока f < f_s/2, то есть ниже частоты Найквиста (частоты свёртки), поэтому частота дискретизации должна превышать удвоенную наивысшую частоту сигнала. Более высокая частота не теряется: она проявляется как ложная частота f_a = |f − k·f_s|, где целое число k выбирается так, чтобы результат оказался между 0 и f_s/2. Отсчёты не позволяют различить эти две частоты, поэтому аналоговый антиэлайзинговый фильтр должен удалить всё выше f_s/2 до АЦП.

Частота Найквиста

f_s/2 = 5 kHz < f = 5,5 kHz

Ближайшее кратное частоты дискретизации

k = round(5,5/10) = 1

Ложная частота

f_a = |5,5 − 1·10| = 4,5 kHz

Ответ

f_a = 4,5 kHz

Штриховая кривая на рисунке — это ложная частота: она проходит ровно через те же отсчёты.

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: f_s = 6,944 kHz

Скорости передачи данных: каждый канал выдаёт f_s отсчётов в секунду по N бит, поэтому исходная скорость равна каналы × f_s × N bit/s. В памяти отсчёт занимает целое число байт (12-разрядный отсчёт хранится в 2 байтах), поэтому память для записи равна каналы × f_s × байт на отсчёт × время. АЦП с мультиплексором преобразует каналы один за другим: каждое преобразование (с установлением) занимает время t, поэтому один цикл по n каналам занимает n·t, а каждый канал дискретизируется с частотой 1/(n·t).

Время на канал

8 + 1 = 9 µs

Время на опрос

16·9 = 144 µs

Частота дискретизации на канал

f_s = 1/144 µs = 6,944 kHz

Ответ

f_s = 6,944 kHz

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics