Цифровая электроника: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Системы счисления

Веса разрядов: двоичная 2^k, восьмеричная 8^k, шестнадцатеричная 16^k
В десятичную: Σ d_k·b^k
Из десятичной: делите на основание, остатки читайте снизу вверх
Шестнадцатеричная ↔ двоичная: одна шестнадцатеричная цифра = 4 бита
Дополнительный код: инвертируйте биты и прибавьте 1

Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Основные вентили: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Правила булевой алгебры: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
Законы де Моргана: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Порядок на карте Карно: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
Группа из 2ᵏ клеток: теряет k переменных
Мультиплексор 4 в 1: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Триггеры: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Счётчики: n-разрядный: 2ⁿ состояний; по модулю N: наименьшее n, при котором 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Асинхронный счётчик: f_max = 1/(n·t_pd)
Кольцевой счётчик и счётчик Джонсона: n и 2n состояний

Метод

Для схемы идите от входов к выходу вентиль за вентилем и записывайте значение на каждом проводе или запишите её выражение и заполните таблицу истинности.
Для упрощения поставьте единицы (и безразличные состояния как X) на карту Карно со строками и столбцами в коде Грея: 00, 01, 11, 10.
Покройте единицы как можно меньшим числом как можно больших групп по 1, 2, 4, 8 или 16 клеток, с переходом через края; каждая группа — один член-произведение из переменных, которые остаются постоянными. Для формы POS группируйте нули.
Для триггеров и счётчиков считывайте входы на каждом активном фронте тактового сигнала, записывайте состояние после каждого фронта и помните, что n-разрядный счётчик возвращается к началу после 2ⁿ состояний.

Сбор данных и дискретизация

Критерий Найквиста: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
Ложная частота: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
Шаг квантования: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
Ошибка квантования (округление): ±½ LSB
АЦП с отбрасыванием остатка: D = ⌊V_in/LSB⌋
Число разрядов для разрешения r: 2ᴺ ≥ span/r
Идеальное SQNR, синусоида на полной шкале: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
Скорость передачи данных: каналы × f_s × N bit/s
АЦП с мультиплексором: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud; 8N1 = 10 бит на байт; byte/s = baud/число бит в кадре
Делитель скорости передачи: baud = f_clk/(16·D)

Метод

Запишите, что дано: частоту дискретизации, частоты сигналов, число разрядов, диапазон входа, скорость в бодах.
В задачах на дискретизацию сравнивайте каждую частоту с f_s/2; более высокая частота появляется как f_a = |f − k·f_s| с ближайшим кратным f_s.
В задачах на разрешение найдите 1 LSB = V_FSR/2ᴺ или наименьшее N, при котором 2ᴺ ≥ диапазон/разрешение.
Для скоростей передачи данных и каналов UART считайте всё, что передаётся: каналы, отсчёты в секунду, биты или целые байты на отсчёт, а также стартовые, контрольные и стоповые биты каждого кадра.

2Тренировочные задачи

1.Системы счисленияСредняя

Установите биты так, чтобы они хранили −42 в 8-битном дополнительном коде. Чему равно значение комбинации U, если читать её как число без знака?

N = −428 bit

U =

2.Системы счисленияСложная

Установите биты в 8-битный результат операции 1100 1110 << 3. Чему равно значение результата R в десятичной системе?

1100 1110<< 3

R =

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСредняя

Упростите F = AC + ABC + A′B′C′ + B′C до минимальной формы «сумма произведений». Сколько литералов, L, содержит упрощённое выражение?

F = AC + ABC + A′B′C′ + B′C

L =

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггерыСложная

Синхронный счётчик по модулю 11 считает 0, 1, …, 10, а затем возвращается к 0. Он начинает с 5. Какое значение Q (в десятичном виде) он покажет после 31 тактовых импульсов?

Q₀ = 531N = 11

Q =

5.Сбор данных и дискретизацияСредняя

Найдите идеальное отношение сигнал/шум квантования SQNR 6-разрядного АЦП для синусоиды на полной шкале.

N = 6

SQNR = dB

6.Сбор данных и дискретизацияСложная

Микроконтроллер с тактовой частотой 12 MHz задаёт скорость UART как f_clk/(16·D), где D — целое число, округлённое до ближайшего значения. Целевая скорость — 2400 бод. Найдите относительную погрешность реальной скорости в бодах в процентах (положительную, если она слишком высока).

f_clk = 12 MHzцелевая = 2400 Bd

e = %

3Растворы

1.Системы счисления

Ответ: U = 214

Установка битов: каждый бит стоит степень двойки (128, 64, …, 1). Одна шестнадцатеричная цифра — это ровно четыре бита, а в 8-битном дополнительном коде крайний левый бит стоит −128. Побитовые операции работают с каждой позицией бита отдельно.

Инвертируйте и прибавьте единицу

42 = 0010 1010

инвертировано: 1101 0101

+1 → 1101 0110

Прочитайте как беззнаковое

1101 0110₂ = 256 − 42 = 214

Ответ

U = 214

2.Системы счисления

Ответ: R = 112

Бит за битом

Сдвиг влево на 3 перемещает каждый бит на 3 позиций влево; биты, выходящие за левый край, теряются, а справа входят нули.

1100 1110 << 3

= 0111 0000

Значение результата

0111 0000₂ = 112

Ответ

R = 112

3.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: L = 4

Булева алгебра: правила, упрощающие выражения: X + X′ = 1 и X·X′ = 0, X + X = X, поглощение X + X·Y = X, правило склеивания X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y и теорема о консенсусе XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. Законы де Моргана превращают (X·Y)′ в X′ + Y′ и (X + Y)′ в X′·Y′. Карта Карно применяет эти правила графически: каждая группа из двух соседних клеток — это одно применение XY + XY′ = X.

Минтермы выражения

AC → m(5, 7)

ABC → m(7)

A′B′C′ → m(0)

B′C → m(1, 5)

Сгруппируйте и прочитайте

F = AC + A′B′

Посчитайте литералы

L = 4

Ответ

L = 4

4.Цифровая логика: вентили, карты Карно и триггеры

Ответ: Q = 3

Триггеры и счётчики: триггер меняется только по активному фронту тактового сигнала. D копирует свой вход (Q⁺ = D); T переключается при T = 1; JK сохраняет состояние при 00, сбрасывает при 01, устанавливает при 10 и переключает при 11. n-разрядный двоичный счётчик имеет 2ⁿ состояний и считает по модулю 2ⁿ; счётчик по модулю N считает 0, 1, …, N − 1 и возвращается к 0, и ему нужно наименьшее число триггеров n, при котором 2ⁿ ≥ N. Каждый разряд асинхронного счётчика делит частоту пополам, поэтому последний выход счётчика по модулю N работает на частоте f_clk/N. У счётчика Джонсона из n триггеров 2n состояний, у кольцевого счётчика n.

Полные циклы

Каждые 11 импульсов возвращают счётчик в то же состояние.

31 = 2·11 + 9

Значение после оставшихся импульсов

Q = (5 + 9) mod 11 = 3

Q = 0011₂

Ответ

Q = 3

5.Сбор данных и дискретизация

Ответ: SQNR = 37,88 dB

Разрешение АЦП: N-разрядный преобразователь делит свой диапазон полной шкалы V_FSR на 2ᴺ кодов, от 0 до 2ᴺ − 1. Один шаг равен 1 LSB = V_FSR/2ᴺ: это наименьшее изменение, которое преобразователь может показать. АЦП с отбрасыванием остатка выдаёт код ⌊V_in/LSB⌋; АЦП с округлением никогда не отличается от истинного значения больше чем на ½ LSB, это его ошибка квантования. Каждый дополнительный разряд уменьшает LSB вдвое и добавляет примерно 6 dB к идеальному отношению сигнал/шум квантования SQNR = 6,02·N + 1,76 dB для синусоиды на полной шкале. Чтобы получить разрешение r в некотором диапазоне, выберите наименьшее N, для которого 2ᴺ ≥ диапазон/r.

Идеальное SQNR

SQNR = 6,02·6 + 1,76 = 37,88 dB

Ответ

SQNR = 37,88 dB

6.Сбор данных и дискретизация

Ответ: e = −0,1597 %

UART: асинхронный последовательный канал передаёт каждый байт кадром: один стартовый бит (низкий уровень), биты данных, необязательный бит чётности и один или два стоповых бита (высокий уровень). Скорость в бодах — это число бит в секунду, поэтому один бит длится T_b = 1/baud, а кадр из n бит длится n/baud. В распространённом формате 8N1 на байт приходится 10 бит. Генератор бодов делит тактовую частоту: baud = f_clk/(16·D) с целым D, поэтому реальная скорость в бодах немного отличается от заданной; погрешность меньше примерно 2 % обычно допустима.

Делитель

D = 12·10⁶/(16·2400) = 312,5 → 313

Реальная скорость в бодах

12·10⁶/(16·313) = 2396 Bd

Погрешность

(2396 − 2400)/2400·100 = −0,1597 %

Ответ

e = −0,1597 %

Погрешность ниже примерно 2 % обычно допустима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/digital-electronics