Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 8 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 108 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 14 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 6 kg и 5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 32 m/s под углом 25° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 56 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 32 m/sθ = 25°x = 56 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 5 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 33 m/sθ = 45°h = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 900 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 24 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 80 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 900 kgv = 24 m/sr = 80 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 1,4 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,4. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 9 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,4d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 10 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 28 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 14 m/s. Контакт длится 10 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,3 kgv_in = 28 m/sv_out = 14 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 1970 N·m при 2000 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 1970 N·mn = 2000 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар массой 17,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 3 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 17,5 kgv = 3 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 360 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 4 mm и передаточным отношением 5 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₂ должно иметь колесо?

a = 360 mmm = 4 mmi = 5

N₂ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Открытый ремень соединяет ведущий шкив 200 mm с частотой 720 rpm со шкивом 450 mm; расстояние между центрами 500 mm. Коэффициент трения равен 0,35, а натяжение ведущей ветви не должно превышать 1000 N. Найдите наибольшую мощность P, которую ремень может передать без проскальзывания, в kW (центробежными эффектами пренебрегите).

d₁ = 200 mmn₁ = 720 rpmd₂ = 450 mmC = 500 mmμ = 0,35T₁ = 1000 N

P = kW

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,3 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,6 kg на пружине с k = 340 N/m оттягивают на 10 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 0,6 kgk = 340 N/mA = 10 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 2 kg на пружине жёсткостью 100 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,6. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 2 kgk = 100 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 5 kN/m и k₂ = 40 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 3,75 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/8 = 3,75 s

Ответ

t = 3,75 s

2.Кинематика

Ответ: h_max = 49,99 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 14²/(2·9,81) = 9,99 m

Высота над землёй

h_max = 40 + 9,99 = 49,99 m

Ответ

h_max = 49,99 m

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 53,51 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (6 − 5)·9,81/(6 + 5) = 0,8918 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 5·(9,81 + 0,8918) = 53,51 N

Ответ

T = 53,51 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 22,85 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 3,924)/8,5 = 4,732 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·4,732 + 3,924 = 22,85 N

Ответ

T = 22,85 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 7,825 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 32·cos 25° = 29 m/s

t = x/v_x = 56/29 = 1,931 s

Высота в этот момент

y = 13,52·1,931 − ½·9,81·1,931² = 7,825 m

Ответ

y = 7,825 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,963 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 45° = 23,33 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 45° = 23,33 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 5 + 23,33·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23,33 + √(544,5 + 98,1))/9,81 = 4,963 s

Ответ

t = 4,963 s

7.Движение по окружности

Ответ: N = 2349 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 900·9,81 − 900·24²/80 = 8829 − 6480 = 2349 N

Ответ

N = 2349 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 3,706 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,4) = 3,706 m/s

Ответ

v_min = 3,706 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,707 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·9·(0,6428 − 0,4·0,766)) = 7,707 m/s

Ответ

v = 7,707 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: x = 18,79 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(5 − 0,1·5) = 44,15 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 44,15 → x = √(2·44,15/2500) = 0,1879 m = 18,79 cm

Ответ

x = 18,79 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 7,692 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 4)/(2,5 + 4)·10 = −2,308 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4)·10 = 7,692 m/s

Ответ

v′₂ = 7,692 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 12,6 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,3·(14 + 28) = 12,6 N·s

Ответ

J = 12,6 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 412,6 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2000/60 = 209,4 rad/s

Мощность

P = T·ω = 1970·209,4 = 412596 W = 412,6 kW

Ответ

P = 412,6 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 110,3 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·17,5·3² = 78,75 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·78,75 = 31,5 J

Итого

E_k = 78,75 + 31,5 = 110,3 J

Ответ

E_k = 110,3 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₂ = 150

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·360/4 = 180

Делим по передаточному отношению

N₁ = 180/(1 + 5) = 30

N₂ = 5·30 = 150

Ответ

N₂ = 150

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: P = 4,543 kW

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Угол обхвата

θ = 2,636 rad

Натяжение ведомой ветви

e^μθ = e^0,9227 = 2,516, T₂ = 1000/2,516 = 397,5 N

Мощность

P = (1000 − 397,5)·7,54 = 4,543 kW

Ответ

P = 4,543 kW

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,287 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,3/9,81) = 2,287 s

Ответ

T = 2,287 s

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 56,67 m/s²

Угловая частота

ω = √(340/0,6) = 23,8 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,1·23,8² = 56,67 m/s²

Ответ

a_max = 56,67 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 28,47 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(100000/2) = 223,6 rad/s

f_n = 223,6/(2π) = 35,59 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 35,59·√(1 − 0,6²) = 28,47 Hz

Ответ

f_d = 28,47 Hz

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 45 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 40 = 45 kN/m

Ответ

k_eq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics