Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,25 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1800 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 2,6 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 2,6 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 5,5 m/s и останавливается через 5,1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 5,5 m/sd = 5,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 38 m/s, и он должен упасть на расстоянии 80 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 38 m/sR = 80 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 10 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 22 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 90 m имеет вираж с уклоном 10°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 90 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,5 kg на лёгкой нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,5 kgr = 0,9 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 70 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,7. Найдите тормозной путь d.

v = 70 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 30° сжимают на 5 cm бруском массой 3 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 3 kgk = 5000 N/mx = 5 cmθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1600 kg, движущийся со скоростью 20 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1000 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1600 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,55 kg ударяется о стену со скоростью 13 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 12 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,55 kgv_in = 13 m/sv_out = 12 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 5,5 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 18 kg и радиусом 0,1 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v груза после того, как он опустился на 1,5 m.

m = 5,5 kgM = 18 kgR = 0,1 mg = 9,81 m/s²h = 1,5 m

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр массой 14 kg катится без проскальзывания со скоростью 4,5 m/s. Какой процент p полной кинетической энергии составляет энергия вращения?

m = 14 kgv = 4,5 m/sI = ½·m·r²

p = %

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 3 kW с частотой 960 rpm приводит червяк с числом заходов 4. Червячное колесо имеет 30 зубьев, КПД передачи 65%. Найдите выходной вращающий момент T_w на валу колеса.

z = 4N_w = 30n = 960 rpmP = 3 kWη = 65%

T_w = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (20 зуб.) на входном валу вращается с частотой 2900 rpm и приводит колесо B (80 зуб.). Колесо C (18 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (36 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 2900 rpmA = 20B = 80C = 18D = 36

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 12 g, летящая со скоростью 400 m/s, попадает в брусок массой 2 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 400 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 12 gv = 400 m/sM = 2 kgk = 400 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 12 kg на пружине жёсткостью 150 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,4. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 12 kgk = 150 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на пружине k₃ = 15 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 50 kN/m и k₂ = 40 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 108,2 m/s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·1800) = 108,2 m/s

Ответ

v = 108,2 m/s

(389,4 km/h)

2.Кинематика

Ответ: d = 30,9 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(2,6 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 891,8 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·891,8))/(2·4,905) = 2,51 s

Глубина

d = ½·9,81·2,51² = 30,9 m

Ответ

d = 30,9 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,3023

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 5,5²/(2·5,1) = 2,966 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,966/9,81 = 0,3023

Ответ

μ = 0,3023

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,54 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 0)/4,5 = 6,54 m/s²

Ответ

a = 6,54 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 16,46 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·80/38² = 0,5435

Угол

2θ = 32,92° → θ = 16,46°

Ответ

θ = 16,46°

Второе решение: 90° − θ = 73,54°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,72 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 45° = 15,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 45° = 15,56 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 10 + 15,56·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15,56 + √(242 + 196,2))/9,81 = 3,72 s

Ответ

t = 3,72 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 12,48 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(90·9,81·tan 10°) = 12,48 m/s

Ответ

v = 12,48 m/s

(44,92 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 25,61 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·0,9 = 54,93 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,5·54,93/0,9 − 0,5·9,81 = 25,61 N

Ответ

T_top = 25,61 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 27,53 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 70/3,6 = 19,44 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19,44²/(2·0,7·9,81) = 27,53 m

Ответ

d = 27,53 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,362 m

Энергия пружины

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·5000·0,05² = 6,25 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 3·9,81 = 29,43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 6,25/(29,43·(0,5 + 0,1·0,866)) = 0,362 m

Ответ

d = 0,362 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 123077 J

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·20/2600 = 12,31 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1600·20² = 320000 J

K_after = ½·2600·12,31² = 196923 J

Потерянная энергия

ΔK = 320000 − 196923 = 123077 J

Ответ

ΔK = 123077 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 275 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,55·(12 + 13) = 13,75 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 13,75/0,05 = 275 N

Ответ

F_avg = 275 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 3,341 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 5,5·9,81/(5,5 + 9) = 3,721 m/s²

Скорость после падения

v = √(2·a·h) = √(2·3,721·1,5) = 3,341 m/s

Ответ

v = 3,341 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: p = 33,33 %

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·14·4,5² = 141,8 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,5·m·r²·(v/r)² = 0,5·141,8 = 70,88 J

Доля вращения

p = 70,88/212,6·100% = c/(1 + c)·100% = 33,33%

Ответ

p = 33,33 %

Доля зависит только от формы, а не от массы или скорости.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_w = 145,5 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 960·4/30 = 128 rpm

Выходной крутящий момент

ω_w = 2π·128/60 = 13,4 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,65·3000/13,4 = 145,5 N·m

Ответ

T_w = 145,5 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 362,5 rpm

Первая ступень

n_B = 2900·20/80 = 725 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 725·18/36 = 362,5 rpm

Ответ

n_out = 362,5 rpm

общее передаточное отношение = 8 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,172 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,5/9,81) = 3,172 s

Ответ

T = 3,172 s

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 16,92 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,012·400/2,012 = 2,386 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(400/2,012) = 14,1 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 2,386/14,1 = 0,1692 m = 16,92 cm

Ответ

A = 16,92 cm

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 16,31 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(150000/12) = 111,8 rad/s

f_n = 111,8/(2π) = 17,79 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 17,79·√(1 − 0,4²) = 16,31 Hz

Ответ

f_d = 16,31 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 2,552 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 50 + 40 = 90 kN/m

k_eq = 90·15/(90 + 15) = 12,86 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(12857/50) = 16,04 rad/s

f_n = 16,04/(2π) = 2,552 Hz

Ответ

f_n = 2,552 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics