Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.
Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 28 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 2 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.
Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 2,2 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.
Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 2,5 m/s и останавливается через 0,8 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.
Два бруска на горизонтальном полу связаны лёгкой горизонтальной нитью. Горизонтальная сила 40 N тянет передний брусок массой 9 kg; брусок массой 1 kg тащится сзади. Коэффициент трения скольжения для обоих брусков равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T соединительной нити.
Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 36 m/s, и он должен упасть на расстоянии 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.
Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Маленький шарик на нити длиной 0,3 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 60° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.
Шарик массой 0,9 kg на лёгкой нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения Ttop нити в верхней точке.
Шарик массой 5 kg висит на лёгкой нити длиной 1,5 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 20° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.
Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.
Пуля массой 8 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 6 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.
Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 9 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 15 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите среднюю силу Favg, с которой стена действует на мяч.
Однородный тонкий стержень массой 6 kg и длиной 0,5 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите вертикальную силу R, с которой шарнир действует на стержень сразу после освобождения.
сплошной шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 15° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,2 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 6 m вдоль склона.
Шкив 160 mm с частотой 1500 rpm приводит ремнём шкив 300 mm при проскальзывании 2 %. Найдите частоту вращения n2 ведомого шкива.
В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 24 зубьев, а каждый сателлит — 12 зубьев. Коронное колесо закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1500 rpm. Найдите частоту вращения nc водила.
Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.
Груз на пружине с k = 40 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 17 cm. Найдите энергию U, запасённую в пружине, когда груз находится на расстоянии 10 cm от положения равновесия.
Груз массой 40 kg опирается на пружину жёсткостью 100 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 320 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.
Груз массой 25 kg висит на пружине k₃ = 100 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 40 kN/m и k₂ = 15 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту fn вертикальных колебаний в Hz.
Ответ: d = 784 m
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 56 m/s.
Ответ: d = 22,35 m
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Физический смысл имеет только положительный корень.
Ответ: μ = 0,3982
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Ответ: T = 4 N
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
При одинаковом μ для обоих брусков трение выпадает: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Ответ: θ = 8,812 °
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Второе решение: 90° − θ = 81,19°.
Ответ: x = 143,3 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
Ответ: v = 2,101 m/s
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).
Ответ: Ttop = 20,88 N
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.
Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.
Ответ: T = 54,97 N
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.
Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 54,97 N.
Ответ: x = 25,57 cm
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.
Ответ: v = 272,3 m/s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Ответ: Favg = 168 N
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Ответ: R = 14,72 N
Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.
В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.
R = m·g/4, не зависит от длины.
Ответ: ω = 23,33 rad/s
Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.
Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.
Ответ: n2 = 784 rpm
Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = eμθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.
Ответ: nc = 500 rpm
Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.
Положите nr = 0 и найдите частоту вращения водила.
Водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня.
Ответ: L = 0,8051 m
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Ответ: U = 0,2 J
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Ответ: ζ = 0,08
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.
Ответ: fn = 5,996 Hz
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Параллельно соединены только k1 и k2. Эта пара соединена последовательно с k3, поэтому складывайте обратные величины.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics