Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 200 km/h, а длина полосы 2200 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 2200 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 24 m/s², направленное вверх, в течение 1 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 24 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 2,5 kg и 0,5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 0,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 70° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 16 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 13 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 120 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 120 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 22,75 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 6,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 2 kgh = 22,75 mR = 6,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 5 kg скользит 17 m по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,15d = 17 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 4 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0,3k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 4 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1700 kg, едущий на восток со скоростью 11 m/s, сталкивается с автомобилем массой 2000 kg, едущим на север со скоростью 14 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите направление θ движения обломков сразу после столкновения, отсчитанное от востока к северу.

m₁ = 1700 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 14 m/s (N)

θ = °

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель разгоняет маховик с моментом инерции 11 kg·m² из состояния покоя до 900 rpm за 48 s. Пренебрегая потерями, найдите среднюю мощность P_avg, которую он развивает, в kW.

I = 11 kg·m²n = 900 rpmt = 48 s

P_avg = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный сплошной диск (масса 26 kg, радиус 0,5 m) свободно вращается с частотой 650 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 2 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Сколько кинетической энергии ΔE теряется в этом процессе?

M_disc = 26 kgM_ring = 2 kgR = 0,5 mn₁ = 650 rpm

ΔE = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Шкив 100 mm с частотой 720 rpm приводит ремнём шкив 500 mm при проскальзывании 4 %. Найдите частоту вращения n₂ ведомого шкива.

n₁ = 720 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 500 mms = 4 %

n₂ = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (48 зубьев) на входном валу вращается с частотой 2880 rpm и приводит колесо B (50 зубьев). Колесо C (60 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 2074 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 2880 rpmA = 48B = 50C = 60n_out = 2074 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,5 kg на пружине с k = 150 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 19 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 15 cm от положения равновесия.

m = 1,5 kgk = 150 N/mA = 19 cmx = 15 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 0,7 s и амплитудой 11 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 11 cm в точку со смещением 4,4 cm?

T = 0,7 sA = 11 cmx = 4,4 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 15 mm через 3 циклов следует пик 1,5 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 15 mmx₃ = 1,5 mmn = 3

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на пружине k₃ = 60 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 12 kN/m и k₂ = 20 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 0,7015 m/s²

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·2200) = 0,7015 m/s²

Ответ

a = 0,7015 m/s²

2.Кинематика

Ответ: h_max = 41,36 m

Активный участок

v₁ = 24·1 = 24 m/s

h₁ = ½·24·1² = 12 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 24²/(2·9,81) = 29,36 m

h_max = 12 + 29,36 = 41,36 m

Ответ

h_max = 41,36 m

3.Законы Ньютона

Ответ: T = 8,175 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (2,5 − 0,5)·9,81/(2,5 + 0,5) = 6,54 m/s²

Натяжение по лёгкому грузу

T − m₂·g = m₂·a → T = 0,5·(9,81 + 6,54) = 8,175 N

Ответ

T = 8,175 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 31,13 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 0)/13 = 4,15 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·4,15 + 0 = 31,13 N

Ответ

T = 31,13 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 16,77 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 70° = 5,472 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 70° = 15,04 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·15,04/9,81 = 3,065 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 5,472·3,065 = 16,77 m

Ответ

x = 16,77 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,768 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 45° = 9,192 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 45° = 9,192 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 9,192·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,192 + √(84,5 + 686,7))/9,81 = 3,768 s

Ответ

t = 3,768 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 28,71 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·120) = 28,71 m/s

Ответ

v_max = 28,71 m/s (103,3 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 157 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·22,75 = 446,4 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 2·446,4/6,5 + 19,62 = 157 N

Ответ

N_bottom = 157 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 102,5 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 49,05·0,8192 = 40,18 N

F = μN = 0,15·40,18 = 6,027 N

Работа против трения

W_f = F·d = 6,027·17 = 102,5 J

Ответ

W_f = 102,5 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 11,21 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 39,24·(2 − 0,3·4) = 31,39 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 31,39 → x = √(2·31,39/5000) = 0,1121 m = 11,21 cm

Ответ

x = 11,21 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −0,1176 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4 − 4,5)/(4 + 4,5)·2 = −0,1176 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 4,5)·2 = 1,882 m/s

Ответ

v′₁ = −0,1176 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: θ = 56,26 °

Составляющие импульса

p_x = 1700·11 = 18700 kg·m/s

p_y = 2000·14 = 28000 kg·m/s

Направление

tan θ = p_y/p_x = 1,497 → θ = 56,26°

Ответ

θ = 56,26°

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P_avg = 1,018 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

Энергия

E = ½·I·ω² = ½·11·94,25² = 48855 J

Средняя мощность

P_avg = E/t = 48855/48 = 1018 W = 1,018 kW

Ответ

P_avg = 1,018 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ΔE = 1004 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = ½·26·0,5² = 3,25 kg·m²

I₂ = 2·0,5² = 0,5 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 650·3,25/3,75 = 563,3 rpm

Кинетическая энергия до и после

E₁ = ½·3,25·68,07² = 7529 J

E₂ = ½·3,75·58,99² = 6525 J

ΔE = 7529 − 6525 = 1004 J

Ответ

ΔE = 1004 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n₂ = 138,2 rpm

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Частота вращения без проскальзывания

720·100/500 = 144 rpm

С проскальзыванием

n₂ = 144·0,96 = 138,2 rpm

Ответ

n₂ = 138,2 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 80

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 2880·48/50 = 2765 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 60·2765/2074 = 80

Ответ

N_D = 80

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 1,166 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(150/1,5) = 10 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 10·√(0,19² − 0,15²) = 1,166 m/s

Ответ

v = 1,166 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1292 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/0,7 = 8,976 rad/s

Выразите время

0,4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,4) = 1,159 rad

t = 1,159/8,976 = 0,1292 s

Ответ

t = 0,1292 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1213

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/3)·ln(15/1,5) = 0,7675

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7675/√(39,48 + 0,5891) = 0,1213

Ответ

ζ = 0,1213

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 3,252 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 12 + 20 = 32 kN/m

k_eq = 32·60/(32 + 60) = 20,87 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(20870/50) = 20,43 rad/s

f_n = 20,43/(2π) = 3,252 Hz

Ответ

f_n = 3,252 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics