Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 45 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 45 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 5 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 12 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 10 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 100 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 10 kgF = 100 Nθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8,5 kg на наклонной плоскости под углом 20° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 7,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 7,5 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 40 m/s, и он должен упасть на расстоянии 150 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 40 m/sR = 150 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 26 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,4 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,7. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,4 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,5 kg на лёгкой нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,5 kgr = 1,4 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 11 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,25d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 6 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 2 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 5 kgh = 6 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,9 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 4,5 kgL = 1,9 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 510 N·m при 2900 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 510 N·mn = 2900 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной цилиндр катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 30° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a его центра.

θ = 30°I = ½·m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 3 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с 25 зубьями и модулем 5 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 3 kWn = 960 rpmN₁ = 25m = 5 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (18 зубьев) на входном валу вращается с частотой 1450 rpm и приводит колесо B (50 зубьев). Колесо C (20 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 130,5 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 1450 rpmA = 18B = 50C = 20n_out = 130,5 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,8 m имеет период малых колебаний 1,89 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,8 mT = 1,89 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 5 g, летящая со скоростью 500 m/s, попадает в брусок массой 3 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1300 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 5 gv = 500 m/sM = 3 kgk = 1300 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 2 kg опирается на пружину жёсткостью 8 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 50 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 2 kgk = 8 kN/mc = 50 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 15 kN/m и k₂ = 100 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 12,02 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·6,5) = 12,02 m

Ответ

s = 12,02 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 12,34 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 12²/(2·9,81) = 7,339 m

Высота над землёй

h_max = 5 + 7,339 = 12,34 m

Ответ

h_max = 12,34 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 7,377 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 98,1 − 100·sin 35° = 40,74 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 81,92 − 8,148

a = 73,77/10 = 7,377 m/s²

Ответ

a = 7,377 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 56,13 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 73,58 N

m₁·g·sin θ = 28,52 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,836 N

Ускорение системы

a = (73,58 − 28,52 − 7,836)/16 = 2,326 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 7,5·(9,81 − 2,326) = 56,13 N

Ответ

T = 56,13 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 33,44 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·150/40² = 0,9197

Угол

2θ = 66,88° → θ = 33,44°

Ответ

θ = 33,44°

Второе решение: 90° − θ = 56,56°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,631 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 30° = 22,52 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 30° = 13 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 13·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13 + √(169 + 882,9))/9,81 = 4,631 s

Ответ

t = 4,631 s

7.Движение по окружности

Ответ: n = 23,08 rpm

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,7·2,4)) = 2,416 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 23,08 rpm

Ответ

n = 23,08 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 33,57 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10² − 4·9,81·1,4 = 45,06 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,5·45,06/1,4 − 1,5·9,81 = 33,57 N

Ответ

T_top = 33,57 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 9,869 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,6428 − 0,25·0,766)) = 9,869 m/s

Ответ

v = 9,869 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 6,264 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(6 − 4) = 39,24 m²/s²

v = 6,264 m/s

Ответ

v = 6,264 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 7,538 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 3)/(3,5 + 3)·7 = 0,5385 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 3)·7 = 7,538 m/s

Ответ

v′₂ = 7,538 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 676,2 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,9·(1 − cos 20°) = 0,1146 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1146) = 1,499 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,51·1,499/0,01 = 676,2 m/s

Ответ

v = 676,2 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 154,9 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

Мощность

P = T·ω = 510·303,7 = 154881 W = 154,9 kW

Ответ

P = 154,9 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: a = 3,27 m/s²

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,5·m·r²·(a/r) → f = 0,5·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 30°/1,5 = 3,27 m/s²

Ответ

a = 3,27 m/s²

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 477,5 N

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T = P/ω = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 5·25 = 125 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·29,84/0,125 = 477,5 N

Ответ

F_t = 477,5 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 80

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 1450·18/50 = 522 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 20·522/130,5 = 80

Ответ

N_D = 80

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 8,842 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/1,89² = 8,842 m/s²

Ответ

g = 8,842 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 4 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,005·500/3,005 = 0,8319 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1300/3,005) = 20,8 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,8319/20,8 = 0,04 m = 4 cm

Ответ

A = 4 cm

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1976

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(8000·2) = 253 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 50/253 = 0,1976

Ответ

ζ = 0,1976

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 5,397 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 100 = 115 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(115000/100) = 33,91 rad/s

f_n = 33,91/(2π) = 5,397 Hz

Ответ

f_n = 5,397 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics