Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,25 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 900 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 10 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 15 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 15 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 6 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 36 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 15 m/s под углом 15° к горизонту с вершины обрыва высотой 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 15 m/sθ = 15°h = 60 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 105 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 105 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. Примите g = 9,81 m/s². При какой наименьшей скорости v_min в верхней точке нить ещё остаётся натянутой?

r = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 9 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,15. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 30°μ = 0,15d = 9 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,25). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 4 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 1 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 15 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 7 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 15 gM = 1,5 kgh = 7 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,55 kg ударяется о стену со скоростью 25 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 18 m/s. Контакт длится 50 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,55 kgv_in = 25 m/sv_out = 18 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 6,5 kg и длиной 2,5 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 5 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 6,5 kgL = 2,5 mm_ball = 5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный сплошной диск (масса 31 kg, радиус 0,3 m) свободно вращается с частотой 650 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 3 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Сколько кинетической энергии ΔE теряется в этом процессе?

M_disc = 31 kgM_ring = 3 kgR = 0,3 mn₁ = 650 rpm

ΔE = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 0,75 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 16, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 40. КПД зубчатой пары — 96 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 0,75 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 16N₂ = 40η = 96%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (45 зуб.) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (80 зуб.). Колесо C (16 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (20 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 960 rpmA = 45B = 80C = 16D = 20

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 2,4 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 2,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 230 N/m оттягивают на 15 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 1,7 kgk = 230 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 80 kg опирается на пружину жёсткостью 10 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 720 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 80 kgk = 10 kN/mc = 720 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 10 kN/m, у нижней k₂ = 20 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 5 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 76,49 m/s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·900) = 76,49 m/s

Ответ

v = 76,49 m/s

(275,3 km/h)

2.Кинематика

Ответ: t = 3,694 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,694 s

Ответ

t = 3,694 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,306 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0) = 6,306 m/s²

Ответ

a = 6,306 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 23,54 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 11,77)/9 = 1,962 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·1,962 + 11,77 = 23,54 N

Ответ

T = 23,54 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,67 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 30° = 31,18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 30° = 18 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·18/9,81 = 3,67 s

Ответ

t = 3,67 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 67,24 °

Разложите начальную скорость

v_x = 15·cos 15° = 14,49 m/s

v_y0 = 15·sin 15° = 3,882 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(3,882² + 2·9,81·60) = 34,53 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 34,53/14,49 → α = 67,24°

Ответ

α = 67,24°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 24,86 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·105) = 24,86 m/s

Ответ

v_max = 24,86 m/s (89,5 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_min = 2,971 m/s

Нулевое натяжение в верхней точке

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,9) = 2,971 m/s

Ответ

v_min = 2,971 m/s

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 28,67 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,866 = 21,24 N

F = μN = 0,15·21,24 = 3,186 N

Работа против трения

W_f = F·d = 3,186·9 = 28,67 J

Ответ

W_f = 28,67 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 2,448 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 39,24·1 = 39,24 J

μ·m₁g·d = 0,25·49,05·1 = 12,26 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 26,98 → v = √(2·26,98/9) = 2,448 m/s

Ответ

v = 2,448 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 118,4 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,07) = 1,172 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 1,5)·1,172/0,015 = 118,4 m/s

Ответ

v = 118,4 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 23,65 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,55·(18 + 25) = 23,65 N·s

Ответ

J = 23,65 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 7,514 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 6,5·9,81·1,25 + 5·9,81·2,5 = 202,3 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 13,54 + 31,25 = 44,79 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 202,3 → ω = √(2·202,3/44,79) = 3,006 rad/s

v = ω·L = 3,006·2,5 = 7,514 m/s

Ответ

v = 7,514 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ΔE = 524,1 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = ½·31·0,3² = 1,395 kg·m²

I₂ = 3·0,3² = 0,27 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 650·1,395/1,665 = 544,6 rpm

Кинетическая энергия до и после

E₁ = ½·1,395·68,07² = 3232 J

E₂ = ½·1,665·57,03² = 2708 J

ΔE = 3232 − 2708 = 524,1 J

Ответ

ΔE = 524,1 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 17,9 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 750/100,5 = 7,46 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 7,46·40/16·0,96 = 17,9 N·m

Ответ

T₂ = 17,9 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 432 rpm

Первая ступень

n_B = 960·45/80 = 540 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 540·16/20 = 432 rpm

Ответ

n_out = 432 rpm

общее передаточное отношение = 2,222 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 1,431 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,4/2π)² = 1,431 m

Ответ

L = 1,431 m

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 20,29 m/s²

Угловая частота

ω = √(230/1,7) = 11,63 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,15·11,63² = 20,29 m/s²

Ответ

a_max = 20,29 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,4025

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(10000·80) = 1789 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 720/1789 = 0,4025

Ответ

ζ = 0,4025

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 5,812 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/20 → k_eq = 10·20/(10 + 20) = 6,667 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(6667/5) = 36,51 rad/s

f_n = 36,51/(2π) = 5,812 Hz

Ответ

f_n = 5,812 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics