Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,75 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1800 m.

v₀ = 0a = 3,75 m/s²s = 1800 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 5 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 7 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 7 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 14 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с вершины скалы высотой 30 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1800 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 13 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 45 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1800 kgv = 13 m/sr = 45 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,6 kg на нити длиной 1,5 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,6 kgr = 1,5 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 19 m вдоль плоскости.

θ = 20°μ = 0,25d = 19 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,25). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 3 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2,5 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgμ = 0,25d = 2,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1600 kg, движущийся со скоростью 22 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1100 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 1600 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 21 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 6 m/s. Контакт длится 5 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,35 kgv_in = 21 m/sv_out = 6 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 4,5 kg и длиной 1,4 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 4 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v свободного конца при прохождении стержнем вертикального положения.

m = 4,5 kgL = 1,4 mm_ball = 4 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар массой 8 kg катится без проскальзывания со скоростью 5,5 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 8 kgv = 5,5 m/sI = (2/5)·m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 5,5 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 24, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 50. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 5,5 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 24N₂ = 50η = 97%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 3 kW с частотой 1450 rpm приводит колесо A (24 зубьев), которое зацепляется с колесом B (72 зубьев). Колесо C (25 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (60 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 95%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 3 kWn_in = 1450 rpmA = 24B = 72C = 25D = 60η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,6 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,9 s и амплитудой 4 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 4 cm в точку со смещением 1,6 cm?

T = 3,9 sA = 4 cmx = 1,6 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 250 kg опирается на пружину жёсткостью 150 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 980 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 250 kgk = 150 kN/mc = 980 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 80 kN/m, у нижней k₂ = 100 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 116,2 m/s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,75·1800) = 116,2 m/s

Ответ

v = 116,2 m/s

(418,3 km/h)

2.Кинематика

Ответ: t = 3,41 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−40 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 40 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·40))/9,81 = 3,41 s

Ответ

t = 3,41 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 17,52 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 4,905)/7 = 6,306 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·6,306 + 4,905 = 17,52 N

Ответ

T = 17,52 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 1,784 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12,69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5,917 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 5,917²/(2·9,81) = 1,784 m

Ответ

H = 1,784 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 69,02 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 60° = 12,5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 60° = 21,65 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 30 + 21,65·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21,65 + √(468,8 + 588,6))/9,81 = 5,522 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 12,5·5,522 = 69,02 m

Ответ

x = 69,02 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 10898 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9,81 − 1800·13²/45 = 17658 − 6760 = 10898 N

Ответ

N = 10898 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T = 15,89 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,6·9,81 + 0,6·5²/1,5 = 5,886 + 10 = 15,89 N

Ответ

T = 15,89 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 6,319 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·19·(0,342 − 0,25·0,9397)) = 6,319 m/s

Ответ

v = 6,319 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 1,374 m/s

Выделившаяся и потерянная энергия

m₂g·d = 29,43·2,5 = 73,58 J

μ·m₁g·d = 0,25·98,1·2,5 = 61,31 J

Кинетическая энергия обоих грузов

½(m₁ + m₂)v² = 12,26 → v = √(2·12,26/13) = 1,374 m/s

Ответ

v = 1,374 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 40,74 %

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·22/2700 = 13,04 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1600·22² = 387200 J

K_after = ½·2700·13,04² = 229452 J

Потерянная доля

ΔK/K = 157748/387200 = 40,74 %

Ответ

ΔK/K = 40,74 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 1890 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(6 + 21) = 9,45 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 9,45/0,005 = 1890 N

Ответ

F_avg = 1890 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: v = 5,587 m/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 4,5·9,81·0,7 + 4·9,81·1,4 = 85,84 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 2,94 + 7,84 = 10,78 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 85,84 → ω = √(2·85,84/10,78) = 3,991 rad/s

v = ω·L = 3,991·1,4 = 5,587 m/s

Ответ

v = 5,587 m/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 169,4 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·8·5,5² = 121 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,4·m·r²·(v/r)² = 0,4·121 = 48,4 J

Итого

E_k = 121 + 48,4 = 169,4 J

Ответ

E_k = 169,4 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 54,71 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 5500/100,5 = 54,71 N·m

Ответ

T₁ = 54,71 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 128,4 N·m

Скорость на выходе

n_out = 1450·(24/72)·(25/60) = 201,4 rpm

ω_out = 2π·201,4/60 = 21,09 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 3000·0,95² = 2708 W

T_out = P_out/ω_out = 2708/21,09 = 128,4 N·m

Ответ

T_out = 128,4 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 1,554 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,6/9,81) = 1,554 s

Ответ

T = 1,554 s

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,7196 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,9 = 1,611 rad/s

Выразите время

0,4 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,4) = 1,159 rad

t = 1,159/1,611 = 0,7196 s

Ответ

t = 0,7196 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,08002

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·250) = 12247 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 980/12247 = 0,08002

Ответ

ζ = 0,08002

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 5,305 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/100 → k_eq = 80·100/(80 + 100) = 44,44 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(44444/40) = 33,33 rad/s

f_n = 33,33/(2π) = 5,305 Hz

Ответ

f_n = 5,305 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics