Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 9 s, затем движется с постоянной скоростью 20 s и, наконец, тормозит с замедлением 4 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 20 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 9 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 9 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 6 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 22 m/s под углом 50° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 15 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 22 m/sθ = 50°x = 15 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 27 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 105 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 105 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 160 m имеет вираж с уклоном 25°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 160 mθ = 25°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 800 kg въезжает на подъём 4° с постоянной скоростью 72 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 600 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 800 kgθ = 4°F_r = 600 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 1 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 4,5 mμ = 0,3k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 10 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 800 kg, едущий на восток со скоростью 25 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1200 kg, едущим на север со скоростью 16 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 800 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 16 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 6,5 kg и длиной 2,5 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его угловое ускорение α сразу после освобождения.

m = 6,5 kgL = 2,5 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,15 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 9 m вдоль склона.

θ = 40°s = 9 mI = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,15 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 11 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с числом зубьев 60, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 72. КПД зубчатой пары — 95 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 11 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 60N₂ = 72η = 95%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (50 зуб.) на входном валу вращается с частотой 1450 rpm и приводит колесо B (60 зуб.). Колесо C (20 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (72 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 1450 rpmA = 50B = 60C = 20D = 72

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,8 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,8 kg на пружине с k = 310 N/m оттягивают на 19 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 2,8 kgk = 310 N/mA = 19 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 30 mm через один цикл следует пик 16 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 30 mmx₁ = 16 mmn = 1

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 20 kN/m, у нижней k₂ = 10 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 50 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 49,38 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·5) = 49,38 m

Ответ

s = 49,38 m

2.Кинематика

Ответ: s = 481,5 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2·9² = 81 m

s₂ = 18·20 = 360 m

s₃ = 18²/(2·4) = 40,5 m

Полный путь

s = 81 + 360 + 40,5 = 481,5 m

Ответ

s = 481,5 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,306 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0) = 6,306 m/s²

Ответ

a = 6,306 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 42,04 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 19,62)/14 = 2,803 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·2,803 + 19,62 = 42,04 N

Ответ

T = 42,04 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 12,36 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 22·cos 50° = 14,14 m/s

t = x/v_x = 15/14,14 = 1,061 s

Высота в этот момент

y = 16,85·1,061 − ½·9,81·1,061² = 12,36 m

Ответ

y = 12,36 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 95,44 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 55° = 15,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 55° = 22,12 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 22,12·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22,12 + √(489,2 + 981))/9,81 = 6,163 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 15,49·6,163 = 95,44 m

Ответ

x = 95,44 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 17,58 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·105) = 17,58 m/s

Ответ

v_max = 17,58 m/s (63,28 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 30,53 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(160·9,81·0,5132/0,864) = 30,53 m/s

Ответ

v_max = 30,53 m/s

(109,9 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: P = 22,95 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 800·9,81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 4° = 547,4 N

F = 547,4 + 600 = 1147 N

Мощность

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1147·20 = 22949 W = 22,95 kW

Ответ

P = 22,95 kW

10.Работа и энергия

Ответ: x = 21,24 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,3·4,5) = 11,28 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 11,28 → x = √(2·11,28/500) = 0,2124 m = 21,24 cm

Ответ

x = 21,24 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 4 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 1,5)/(3,5 + 1,5)·10 = 4 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1,5)·10 = 14 m/s

Ответ

v′₁ = 4 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 13,86 m/s

Составляющие импульса

p_x = 800·25 = 20000 kg·m/s

p_y = 1200·16 = 19200 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 27724/2000 = 13,86 m/s

Ответ

v′ = 13,86 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: α = 5,886 rad/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,5) = 5,886 rad/s²

Ответ

α = 5,886 rad/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 60,03 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 9·sin 40° = 5,785 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,4)

v = √(2·9,81·5,785/1,4) = 9,004 m/s

ω = v/r = 9,004/0,15 = 60,03 rad/s

Ответ

ω = 60,03 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 36,22 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/303,7 = 36,22 N·m

Ответ

T₁ = 36,22 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 335,6 rpm

Первая ступень

n_B = 1450·50/60 = 1208 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1208·20/72 = 335,6 rpm

Ответ

n_out = 335,6 rpm

общее передаточное отношение = 4,32 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,691 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,8/9,81) = 2,691 s

Ответ

T = 2,691 s

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 5,596 J

Угловая частота

ω = √(310/2,8) = 10,52 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·310·0,19² = 5,596 J

Ответ

E = 5,596 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,09955

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/1)·ln(30/16) = 0,6286

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6286/√(39,48 + 0,3951) = 0,09955

Ответ

ζ = 0,09955

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 1,838 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/10 → k_eq = 20·10/(20 + 10) = 6,667 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(6667/50) = 11,55 rad/s

f_n = 11,55/(2π) = 1,838 Hz

Ответ

f_n = 1,838 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics