Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 54 km/h, тормозит с постоянным замедлением 7 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 54 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 10 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 10 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 4 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 15° со скоростью 9,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 9,5 m/sθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 60° к горизонту, и он падает на расстоянии 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 60°R = 40 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 13 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 13 m/sθ = 20°h = 20 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 80 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 80 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 16 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 2 kgh = 16 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 13 m по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 20°μ = 0,1d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 25° и тянется вверх по ней постоянной силой 35 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 3 m вверх по плоскости.

m = 5 kgF = 35 Nθ = 25°μ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 6 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,35 kg ударяется о стену со скоростью 30 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 20 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,35 kgv_in = 30 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 3,5 kg и длиной 0,8 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 4,5 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите угловую скорость ω стержня при прохождении вертикального положения.

m = 3,5 kgL = 0,8 mm_ball = 4,5 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 10° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьший коэффициент трения покоя μ_s, при котором нет проскальзывания.

θ = 10°I = m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 2,2 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с 18 зубьями и модулем 2,5 mm. Найдите окружную силу F_t на зубьях шестерни.

P = 2,2 kWn = 2900 rpmN₁ = 18m = 2,5 mm

F_t = N

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (48 зуб.) на входном валу вращается с частотой 1450 rpm и приводит колесо B (60 зуб.). Колесо C (48 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (60 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 1450 rpmA = 48B = 60C = 48D = 60

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,6 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,8 kg на пружине с k = 450 N/m оттягивают на 5 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 2,8 kgk = 450 N/mA = 5 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 15 kg на пружине жёсткостью 12 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,5. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 15 kgk = 12 kN/mζ = 0,5

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на пружине k₃ = 20 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 20 kN/m и k₂ = 5 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 16,07 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·7) = 16,07 m

Ответ

s = 16,07 m

2.Кинематика

Ответ: t = 2,774 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 10·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 10·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (10 + √(10² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,774 s

Ответ

t = 2,774 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,203 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0,25·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1768) = 5,203 m/s²

Ответ

a = 5,203 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 10,18 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 15° + 0,2·cos 15°) = 4,434 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 9,5²/(2·4,434) = 10,18 m

Ответ

d = 10,18 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 21,29 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·40/sin 120°) = 21,29 m/s

Ответ

v₀ = 21,29 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 21,01 m

Вертикальная начальная скорость

v_y = 13·sin 20° = 4,446 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 4,446²/(2·9,81) = 1,008 m

Высота над землёй

H = 20 + 1,008 = 21,01 m

Ответ

H = 21,01 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,7 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·80) = 21,7 m/s

Ответ

v_max = 21,7 m/s (78,12 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 145,2 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·16 = 313,9 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 2·313,9/5 + 19,62 = 145,2 N

Ответ

N_bottom = 145,2 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 29,96 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,9397 = 23,05 N

F = μN = 0,1·23,05 = 2,305 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,305·13 = 29,96 J

Ответ

W_f = 29,96 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 3,02 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 20,73 N

μ·mg·cos θ = 6,668 N

Работа и энергия

½mv² = (35 − 27,4)·3 = 22,81 J

v = √(2·22,81/5) = 3,02 m/s

Ответ

v = 3,02 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −3,6 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (1 − 4)/(1 + 4)·6 = −3,6 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4)·6 = 2,4 m/s

Ответ

v′₁ = −3,6 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 17,5 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,35·(20 + 30) = 17,5 N·s

Ответ

J = 17,5 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 5,201 rad/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 3,5·9,81·0,4 + 4,5·9,81·0,8 = 49,05 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 0,7467 + 2,88 = 3,627 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 49,05 → ω = √(2·49,05/3,627) = 5,201 rad/s

Ответ

ω = 5,201 rad/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: μ_s = 0,08816

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 10°/2 = 0,8517 m/s²

Необходимое трение

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 10°/2 = 0,08816

Ответ

μ_s = 0,08816

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: F_t = 322 N

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Вращающий момент на шестерне

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 2200/303,7 = 7,244 N·m

Делительный диаметр

d = m·N = 2,5·18 = 45 mm

Окружная сила

F_t = 2T/d = 2·7,244/0,045 = 322 N

Ответ

F_t = 322 N

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 928 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Первая ступень

n_B = 1450·48/60 = 1160 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1160·48/60 = 928 rpm

Ответ

n_out = 928 rpm

общее передаточное отношение = 1,563 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,6361 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,6/2π)² = 0,6361 m

Ответ

L = 0,6361 m

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 8,036 m/s²

Угловая частота

ω = √(450/2,8) = 12,68 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,05·12,68² = 8,036 m/s²

Ответ

a_max = 8,036 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 3,898 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(12000/15) = 28,28 rad/s

f_n = 28,28/(2π) = 4,502 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 4,502·√(1 − 0,5²) = 3,898 Hz

Ответ

f_d = 3,898 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 2,653 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 20 + 5 = 25 kN/m

k_eq = 25·20/(25 + 20) = 11,11 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(11111/40) = 16,67 rad/s

f_n = 16,67/(2π) = 2,653 Hz

Ответ

f_n = 2,653 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics