Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 100 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 1,5 m/s² в течение 7 s, затем движется с постоянной скоростью 15 s и, наконец, тормозит с замедлением 2,5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 15 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 25 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 25 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4 kg на наклонной плоскости под углом 30° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 5,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4 kgm₂ = 5,5 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 14 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 10 m/s под углом 20° к горизонту с вершины обрыва высотой 60 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 10 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,9 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 50° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v шарика.

L = 0,9 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на лёгкой нити длиной 1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 2 kgr = 1 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2 kg скользит 5 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,25. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2 kgθ = 25°μ = 0,25d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2,5 kgh = 2,5 mL = 3 mμ = 0,2k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 900 kg, движущийся со скоростью 12 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 500 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 900 kgv₁ = 12 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 21 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 19 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 21 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Груз массой 4 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 13,5 kg и радиусом 0,45 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a груза.

m = 4 kgM = 13,5 kgR = 0,45 mg = 9,81 m/s²

a = m/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 10° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Оно начинает движение из состояния покоя. За какое время t оно прокатится 10 m вниз по склону?

θ = 10°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²s = 10 m

t = s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 100 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 2 mm и передаточным отношением 4 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₁ должна иметь шестерня?

a = 100 mmm = 2 mmi = 4

N₁ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (15 зубьев) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (48 зубьев). Колесо C (18 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 67,5 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 960 rpmA = 15B = 48C = 18n_out = 67,5 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,7 kg на пружине с k = 130 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 18 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 5 cm от положения равновесия.

m = 0,7 kgk = 130 N/mA = 18 cmx = 5 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 460 N/m оттягивают на 4 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 0,5 kgk = 460 N/mA = 4 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 50 kg опирается на пружину жёсткостью 150 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 820 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 50 kgk = 150 kN/mc = 820 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на пружине k₃ = 80 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 12 kN/m и k₂ = 100 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 6,944 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/4 = 6,944 s

Ответ

t = 6,944 s

2.Кинематика

Ответ: s = 216,3 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 1,5·7 = 10,5 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·1,5·7² = 36,75 m

s₂ = 10,5·15 = 157,5 m

s₃ = 10,5²/(2·2,5) = 22,05 m

Полный путь

s = 36,75 + 157,5 + 22,05 = 216,3 m

Ответ

s = 216,3 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 195,2 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 157,6 + 37,57 = 195,2 N

Ответ

F = 195,2 N

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 36,04 N

Силы вдоль нити

m₂·g = 53,96 N

m₁·g·sin θ = 19,62 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,398 N

Ускорение системы

a = (53,96 − 19,62 − 3,398)/9,5 = 3,256 m/s²

Натяжение по висящему грузу

m₂·g − T = m₂·a → T = 5,5·(9,81 − 3,256) = 36,04 N

Ответ

T = 36,04 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,018 s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9,899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9,899 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·9,899/9,81 = 2,018 s

Ответ

t = 2,018 s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 74,76 °

Разложите начальную скорость

v_x = 10·cos 20° = 9,397 m/s

v_y0 = 10·sin 20° = 3,42 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(3,42² + 2·9,81·60) = 34,48 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 34,48/9,397 → α = 74,76°

Ответ

α = 74,76°

7.Движение по окружности

Ответ: v = 2,839 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,9·sin 50° = 0,6894 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,6894·9,81·tan 50°) = 2,839 m/s

Ответ

v = 2,839 m/s

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 29,9 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 8² − 4·9,81·1 = 24,76 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 2·24,76/1 − 2·9,81 = 29,9 N

Ответ

T_top = 29,9 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 22,23 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 19,62·0,9063 = 17,78 N

F = μN = 0,25·17,78 = 4,445 N

Работа против трения

W_f = F·d = 4,445·5 = 22,23 J

Ответ

W_f = 22,23 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 13,65 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(2,5 − 0,2·3) = 46,6 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 46,6 → x = √(2·46,6/5000) = 0,1365 m = 13,65 cm

Ответ

x = 13,65 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK = 23143 J

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·12/1400 = 7,714 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·900·12² = 64800 J

K_after = ½·1400·7,714² = 41657 J

Потерянная энергия

ΔK = 64800 − 41657 = 23143 J

Ответ

ΔK = 23143 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 1000 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(19 + 21) = 20 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 20/0,02 = 1000 N

Ответ

F_avg = 1000 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: a = 3,65 m/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Груз и блок

брусок: m·g − T = m·a

блок: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Ускорение

a = m·g/(m + M/2) = 4·9,81/(4 + 6,75) = 3,65 m/s²

Ответ

a = 3,65 m/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 4,054 s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 10°/1,4 = 1,217 m/s²

Время

s = ½·a·t² → t = √(2·10/1,217) = 4,054 s

Ответ

t = 4,054 s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₁ = 20

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·100/2 = 100

Делим по передаточному отношению

N₁ = 100/(1 + 4) = 20

Ответ

N₁ = 20

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 80

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 960·15/48 = 300 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 18·300/67,5 = 80

Ответ

N_D = 80

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 2,356 m/s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(130/0,7) = 13,63 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 13,63·√(0,18² − 0,05²) = 2,356 m/s

Ответ

v = 2,356 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 1,213 m/s

Угловая частота

ω = √(460/0,5) = 30,33 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,04·30,33 = 1,213 m/s

Ответ

v_max = 1,213 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1497

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·50) = 5477 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 820/5477 = 0,1497

Ответ

ζ = 0,1497

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 3,438 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 12 + 100 = 112 kN/m

k_eq = 112·80/(112 + 80) = 46,67 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(46667/100) = 21,6 rad/s

f_n = 21,6/(2π) = 3,438 Hz

Ответ

f_n = 3,438 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics