Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,6 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 4,6 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 35 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 35 kgθ = 15°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 6 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 30° к горизонту, и он падает на расстоянии 130 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 30°R = 130 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с вершины скалы высотой 20 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 10 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,2 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,5. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,2 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,4 kg на нити длиной 0,8 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 5,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,4 kgr = 0,8 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 2,5 kg скользит 2 m по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,1. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 2,5 kgθ = 15°μ = 0,1d = 2 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 4 mL = 2,5 mμ = 0,3k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 9 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,3 kg ударяется о стену со скоростью 9 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,3 kgv_in = 9 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 1 kg и длиной 2,3 m закреплён шарниром на одном конце и отпущен без начальной скорости из горизонтального положения. К его свободному концу прикреплён маленький шарик массой 4 kg. Пренебрегите трением и примите g = 9,81 m/s². Найдите угловую скорость ω стержня при прохождении вертикального положения.

m = 1 kgL = 2,3 mm_ball = 4 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 3,5 kg и длиной 1,6 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 25 g, летящая горизонтально со скоростью 220 m/s, попадает в стержень на 1,59 m ниже шарнира и застревает в нём. Найдите угловую скорость ω стержня сразу после удара.

M = 3,5 kgL = 1,6 mm = 25 gv = 220 m/sd = 1,59 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 105 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 3 mm и передаточным отношением 2,5 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₂ должно иметь колесо?

a = 105 mmm = 3 mmi = 2,5

N₂ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 1,5 kW с частотой 1440 rpm приводит колесо A (40 зубьев), которое зацепляется с колесом B (60 зубьев). Колесо C (24 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (80 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 98%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 1,5 kWn_in = 1440 rpmA = 40B = 60C = 24D = 80η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,7 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 3,3 kg на пружине с k = 310 N/m оттягивают на 9 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 3,3 kgk = 310 N/mA = 9 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 40 mm через 5 циклов следует пик 1,7 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 40 mmx₅ = 1,7 mmn = 5

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на пружине k₃ = 30 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 20 kN/m и k₂ = 40 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 92,59 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·6) = 92,59 m

Ответ

s = 92,59 m

2.Кинематика

Ответ: d = 92,03 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,6 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1578 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1578))/(2·4,905) = 4,332 s

Глубина

d = ½·9,81·4,332² = 92,03 m

Ответ

d = 92,03 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 138,6 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 88,87 + 49,75 = 138,6 N

Ответ

F = 138,6 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,8079 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 17,66)/8,5 = 0,8079 m/s²

Ответ

a = 0,8079 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 38,37 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·130/sin 60°) = 38,37 m/s

Ответ

v₀ = 38,37 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 2,865 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 45° = 7,071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 45° = 7,071 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 20 + 7,071·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,071 + √(50 + 392,4))/9,81 = 2,865 s

Ответ

t = 2,865 s

7.Движение по окружности

Ответ: n = 28,52 rpm

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·2,2)) = 2,986 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 28,52 rpm

Ответ

n = 28,52 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: T = 66,67 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,4·9,81 + 1,4·5,5²/0,8 = 13,73 + 52,94 = 66,67 N

Ответ

T = 66,67 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 4,738 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 24,53·0,9659 = 23,69 N

F = μN = 0,1·23,69 = 2,369 N

Работа против трения

W_f = F·d = 2,369·2 = 4,738 J

Ответ

W_f = 4,738 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 65,2 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(4 − 0,3·2,5) = 318,8 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 318,8 → x = √(2·318,8/1500) = 0,652 m = 65,2 cm

Ответ

x = 65,2 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 13,85 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 1,5)/(5 + 1,5)·9 = 4,846 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1,5)·9 = 13,85 m/s

Ответ

v′₂ = 13,85 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 390 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,3·(17 + 9) = 7,8 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 7,8/0,02 = 390 N

Ответ

F_avg = 390 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 2,976 rad/s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Убыль потенциальной энергии

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 1·9,81·1,15 + 4·9,81·2,3 = 101,5 J

Момент инерции относительно шарнира

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 1,763 + 21,16 = 22,92 kg·m²

Энергетический баланс

½·I_O·ω² = 101,5 → ω = √(2·101,5/22,92) = 2,976 rad/s

Ответ

ω = 2,976 rad/s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 2,867 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 3,5·1,6²/3 + 0,025·1,59² = 3,05 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,025·220·1,59/3,05 = 2,867 rad/s

Ответ

ω = 2,867 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₂ = 50

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·105/3 = 70

Делим по передаточному отношению

N₁ = 70/(1 + 2,5) = 20

N₂ = 2,5·20 = 50

Ответ

N₂ = 50

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 47,77 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 1440·(40/60)·(24/80) = 288 rpm

ω_out = 2π·288/60 = 30,16 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 1500·0,98² = 1441 W

T_out = P_out/ω_out = 1441/30,16 = 47,77 N·m

Ответ

T_out = 47,77 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,7181 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Ответ

L = 0,7181 m

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 1,255 J

Угловая частота

ω = √(310/3,3) = 9,692 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·310·0,09² = 1,255 J

Ответ

E = 1,255 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,1

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/5)·ln(40/1,7) = 0,6317

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6317/√(39,48 + 0,399) = 0,1

Ответ

ζ = 0,1

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 5,033 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 20 + 40 = 60 kN/m

k_eq = 60·30/(60 + 30) = 20 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(20000/20) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

Ответ

f_n = 5,033 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics