Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 280 km/h, а длина полосы 900 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 5 s, затем движется с постоянной скоростью 8 s и, наконец, тормозит с замедлением 2 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 8 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 15 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 110 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 15 kgF = 110 Nθ = 35°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 60° к горизонту, и он падает на расстоянии 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 60°R = 45 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 60 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 20°h = 60 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 800 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 16 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 40 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 800 kgv = 16 m/sr = 40 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,3 kg на нити длиной 0,9 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,3 kgr = 0,9 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 4 kg скользит 13 m по наклонной плоскости под углом 45° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,2. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0,2d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 4,5 m (μ = 0,2), а затем наезжает на пружину (k = 4000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 10 kgh = 4 mL = 4,5 mμ = 0,2k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 26 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,15 kgv_in = 26 m/sv_out = 17 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Вал передаёт 191,5 kW при 1800 rpm. Найдите крутящий момент T в валу.

P = 191,5 kWn = 1800 rpm

T = N·m

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч массой 20 kg катится без проскальзывания со скоростью 4,5 m/s. Какой процент p полной кинетической энергии составляет энергия вращения?

m = 20 kgv = 4,5 m/sI = m·r²

p = %

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Ремень идёт по ведущему шкиву 160 mm с частотой 1450 rpm. Натяжение равно 500 N на ведущей ветви и 250 N на ведомой. Найдите передаваемую мощность P в kW.

d₁ = 160 mmn₁ = 1450 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 5,5 kW с частотой 960 rpm приводит колесо A (16 зубьев), которое зацепляется с колесом B (80 зубьев). Колесо C (16 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (48 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 98%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 5,5 kWn_in = 960 rpmA = 16B = 80C = 16D = 48η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1,4 kg на пружине с k = 90 N/m оттягивают на 8 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,55 s (со знаком).

m = 1,4 kgk = 90 N/mA = 8 cmt = 0,55 s

x = cm

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 4 kg на пружине с k = 20 N/m оттягивают на 20 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшую скорость v_max.

m = 4 kgk = 20 N/mA = 20 cm

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 50 mm через 5 циклов следует пик 4 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 50 mmx₅ = 4 mmn = 5

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 50 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 40 kN/m, у нижней k₂ = 80 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 50 kgk₁ = 40 kN/mk₂ = 80 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 3,361 m/s²

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·900) = 3,361 m/s²

Ответ

a = 3,361 m/s²

2.Кинематика

Ответ: s = 170,3 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·5 = 12,5 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2,5·5² = 31,25 m

s₂ = 12,5·8 = 100 m

s₃ = 12,5²/(2·2) = 39,06 m

Полный путь

s = 31,25 + 100 + 39,06 = 170,3 m

Ответ

s = 170,3 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,766 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 110·sin 35° = 84,06 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 90,11 − 33,62

a = 56,48/15 = 3,766 m/s²

Ответ

a = 3,766 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,723 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 0)/6 = 5,723 m/s²

Ответ

a = 5,723 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 22,58 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·45/sin 120°) = 22,58 m/s

Ответ

v₀ = 22,58 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 94,88 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 20° = 21,61 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 20° = 7,866 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 60 + 7,866·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,866 + √(61,88 + 1177))/9,81 = 4,39 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 21,61·4,39 = 94,88 m

Ответ

x = 94,88 m

7.Движение по окружности

Ответ: N = 2728 N

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 800·9,81 − 800·16²/40 = 7848 − 5120 = 2728 N

Ответ

N = 2728 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: T = 105,2 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,3·9,81 + 1,3·8²/0,9 = 12,75 + 92,44 = 105,2 N

Ответ

T = 105,2 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 72,14 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 39,24·0,7071 = 27,75 N

F = μN = 0,2·27,75 = 5,549 N

Работа против трения

W_f = F·d = 5,549·13 = 72,14 J

Ответ

W_f = 72,14 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 38,99 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(4 − 0,2·4,5) = 304,1 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 304,1 → x = √(2·304,1/4000) = 0,3899 m = 38,99 cm

Ответ

x = 38,99 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 1,235 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (5 − 3,5)/(5 + 3,5)·7 = 1,235 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 3,5)·7 = 8,235 m/s

Ответ

v′₁ = 1,235 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 161,3 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(17 + 26) = 6,45 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 6,45/0,04 = 161,3 N

Ответ

F_avg = 161,3 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: T = 1016 N·m

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Крутящий момент

T = P/ω = 191500/188,5 = 1016 N·m

Ответ

T = 1016 N·m

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: p = 50 %

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·20·4,5² = 202,5 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·202,5 = 202,5 J

Доля вращения

p = 202,5/405·100% = c/(1 + c)·100% = 50%

Ответ

p = 50 %

Доля зависит только от формы, а не от массы или скорости.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: P = 3,037 kW

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Скорость ремня

v = 12,15 m/s

Мощность

P = (500 − 250)·12,15 = 3037 W = 3,037 kW

Ответ

P = 3,037 kW

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 788,1 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 960·(16/80)·(16/48) = 64 rpm

ω_out = 2π·64/60 = 6,702 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 5500·0,98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/6,702 = 788,1 N·m

Ответ

T_out = 788,1 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: x = −2,384 cm

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(90/1,4) = 8,018 rad/s

ω·t = 8,018·0,55 = 4,41 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 8·cos(4,41) = −2,384 cm

Ответ

x = −2,384 cm

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,4472 m/s

Угловая частота

ω = √(20/4) = 2,236 rad/s

Наибольшая скорость

v_max = A·ω = 0,2·2,236 = 0,4472 m/s

Ответ

v_max = 0,4472 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,08014

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/5)·ln(50/4) = 0,5051

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5051/√(39,48 + 0,2552) = 0,08014

Ответ

ζ = 0,08014

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 26,67 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/40 + 1/80 → k_eq = 40·80/(40 + 80) = 26,67 kN/m

Ответ

k_eq = 26,67 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics