Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 50 km/h, тормозит с постоянным замедлением 8 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.

v₀ = 50 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 3 m/s² в течение 6 s, затем движется с постоянной скоростью 8 s и, наконец, тормозит с замедлением 4,5 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 6 st₂ = 8 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Санки массой 25 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 40° к горизонту с силой 160 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.

m = 25 kgF = 160 Nθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 9,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 6 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 26 m/s, и он должен упасть на расстоянии 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.

v₀ = 26 m/sR = 35 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 18 m/s под углом 45° к горизонту с вершины обрыва высотой 40 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v, с которой он ударяется о землю.

v₀ = 18 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 130 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 130 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,6 kg на лёгкой нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 10,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,6 kgr = 1,1 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 15° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,1. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 19 m вдоль плоскости.

θ = 15°μ = 0,1d = 19 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2,5 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 1000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 10 kgh = 5 mL = 2,5 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 2 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Автомобиль массой 1000 kg врезается в припаркованный автомобиль массой 1900 kg. Сцепившиеся автомобили скользят 12 m до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v₁ первого автомобиля непосредственно перед столкновением.

m₁ = 1000 kgm₂ = 1900 kgd = 12 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 1050 N·m при 2300 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 1050 N·mn = 2300 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

полый шар массой 6,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 5,5 m/s. Какой процент p полной кинетической энергии составляет энергия вращения?

m = 6,5 kgv = 5,5 m/sI = (2/3)·m·r²

p = %

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,5 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с числом зубьев 25, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 45. Потерями пренебречь. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 1,5 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 25N₂ = 45η = 100%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой 2900 rpm приводит колесо A (12 зубьев), которое зацепляется с колесом B (36 зубьев). Колесо C (50 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (80 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 98%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 1,1 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 36C = 50D = 80η_mesh = 98%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,1 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,1 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 380 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 2,1 kgk = 380 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 12 mm через 4 циклов следует пик 3,4 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 12 mmx₄ = 3,4 mmn = 4

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на пружине k₃ = 12 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 50 kN/m и k₂ = 5 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 25 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 5 kN/mk₃ = 12 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 1,736 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Время торможения

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/8 = 1,736 s

Ответ

t = 1,736 s

2.Кинематика

Ответ: s = 234 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 3·6 = 18 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·3·6² = 54 m

s₂ = 18·8 = 144 m

s₃ = 18²/(2·4,5) = 36 m

Полный путь

s = 54 + 144 + 36 = 234 m

Ответ

s = 234 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,479 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Сила нормальной реакции

N = m·g − F·sin θ = 245,3 − 160·sin 40° = 142,4 N

Горизонтальные силы

m·a = F·cos θ − μ·N = 122,6 − 35,6

a = 86,97/25 = 3,479 m/s²

Ответ

a = 3,479 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 43,29 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 18,64)/15,5 = 2,595 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·2,595 + 18,64 = 43,29 N

Ответ

T = 43,29 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: θ = 15,26 °

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Формула дальности

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·35/26² = 0,5079

Угол

2θ = 30,52° → θ = 15,26°

Ответ

θ = 15,26°

Второе решение: 90° − θ = 74,74°.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v = 33,3 m/s

Разложите начальную скорость

v_x = 18·cos 45° = 12,73 m/s

v_y0 = 18·sin 45° = 12,73 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(12,73² + 2·9,81·40) = 30,77 m/s

Скорость при ударе

v = √(12,73² + 30,77²) = 33,3 m/s

Ответ

v = 33,3 m/s

Проверка по энергии: v² = v₀² + 2gh.

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 22,59 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·130) = 22,59 m/s

Ответ

v_max = 22,59 m/s (81,31 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 81,88 N

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,1 = 67,09 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,6·67,09/1,1 − 1,6·9,81 = 81,88 N

Ответ

T_top = 81,88 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,777 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·19·(0,2588 − 0,1·0,9659)) = 7,777 m/s

Ответ

v = 7,777 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 9,654 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 98,1·(5 − 0,1·2,5) = 466 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,75) = 9,654 m/s

Ответ

v = 9,654 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 1,333 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (0,5 − 1)/(0,5 + 1)·2 = −0,6667 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 1)·2 = 1,333 m/s

Ответ

v′₂ = 1,333 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v₁ = 34,47 m/s

Скорость после столкновения

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·12) = 11,89 m/s

Импульс при столкновении

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·11,89/1000 = 34,47 m/s

Ответ

v₁ = 34,47 m/s

(124,1 km/h)

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 252,9 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2300/60 = 240,9 rad/s

Мощность

P = T·ω = 1050·240,9 = 252898 W = 252,9 kW

Ответ

P = 252,9 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: p = 40 %

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·6,5·5,5² = 98,31 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·0,6667·m·r²·(v/r)² = 0,6667·98,31 = 65,54 J

Доля вращения

p = 65,54/163,9·100% = c/(1 + c)·100% = 40%

Ответ

p = 40 %

Доля зависит только от формы, а не от массы или скорости.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 4,939 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1500/303,7 = 4,939 N·m

Ответ

T₁ = 4,939 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 16,7 N·m

Скорость на выходе

n_out = 2900·(12/36)·(50/80) = 604,2 rpm

ω_out = 2π·604,2/60 = 63,27 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 1100·0,98² = 1056 W

T_out = P_out/ω_out = 1056/63,27 = 16,7 N·m

Ответ

T_out = 16,7 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,907 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,1/9,81) = 2,907 s

Ответ

T = 2,907 s

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,7293 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,1·9,81/380 = 0,05421 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(380/2,1) = 13,45 rad/s

v_max = A·ω = 0,05421·13,45 = 0,7293 m/s

Ответ

v_max = 0,7293 m/s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,05012

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/4)·ln(12/3,4) = 0,3153

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3153/√(39,48 + 0,0994) = 0,05012

Ответ

ζ = 0,05012

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 3,159 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 50 + 5 = 55 kN/m

k_eq = 55·12/(55 + 12) = 9,851 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(9851/25) = 19,85 rad/s

f_n = 19,85/(2π) = 3,159 Hz

Ответ

f_n = 3,159 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics