Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 4 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 13 m/s с края крыши на высоте 35 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 13 m/sh₀ = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 11 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 11 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 5,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 5,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 24 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 5 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 17 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 70 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 70 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,4 kg на нити длиной 1,1 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 4,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 0,4 kgr = 1,1 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 0,5 kg скользит 3 m по наклонной плоскости под углом 30° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 0,5 kgθ = 30°μ = 0,35d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 2 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1,5 m (μ = 0,3), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 0,5 kgh = 2 mL = 1,5 mμ = 0,3k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 17 kg, движущийся горизонтально со скоростью 27 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 14 kg продолжает движение вперёд со скоростью 45 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 3 kg (положительна в исходном направлении).

M = 17 kgu = 27 m/sm₁ = 14 kgv′₁ = 45 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,2 kg ударяется о стену со скоростью 22 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 17 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите модуль импульса силы J, который стена сообщает мячу.

m = 0,2 kgv_in = 22 m/sv_out = 17 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 15,5 kg·m² вращается с частотой 1200 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 15 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?

I = 15,5 kg·m²n = 1200 rpmT_b = 15 N·m

N = rev

14.Вращение твёрдого телаСложная

Человек стоит на поворотном круге без трения и держит в каждой руке гантель массой 4,5 kg на расстоянии 0,9 m от оси. Человек вместе с кругом имеют момент инерции 3,5 kg·m² относительно оси. Они вращаются с частотой 40 rpm, затем человек приближает гантели к оси до расстояния 0,35 m. Считайте гантели точечными массами. Найдите новую частоту вращения n₂ в rpm.

I₀ = 3,5 kg·m²m = 2 × 4,5 kgr₁ = 0,9 mr₂ = 0,35 mn₁ = 40 rpm

n₂ = rpm

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Червяк с числом заходов 3 вращается с частотой 1450 rpm и приводит червячное колесо с 80 зубьями. Найдите частоту вращения n_w колеса.

z = 3N_w = 80n = 1450 rpm

n_w = rpm

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Открытый ремень соединяет ведущий шкив 125 mm с частотой 1500 rpm со шкивом 300 mm; расстояние между центрами 500 mm. Коэффициент трения равен 0,3, а натяжение ведущей ветви не должно превышать 600 N. Найдите наибольшую мощность P, которую ремень может передать без проскальзывания, в kW (центробежными эффектами пренебрегите).

d₁ = 125 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 300 mmC = 500 mmμ = 0,3T₁ = 600 N

P = kW

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,5 m имеет период малых колебаний 1,33 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,5 mT = 1,33 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 4 kg на пружине с k = 460 N/m оттягивают на 19 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 4 kgk = 460 N/mA = 19 cm

a_max = m/s²

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 40 kg на пружине жёсткостью 150 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,45. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 40 kgk = 150 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 10 kN/m и k₂ = 20 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 112,5 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4) = 112,5 m

Ответ

s = 112,5 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,307 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−35 = 13·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 13·t − 35 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (13 + √(13² + 2·9,81·35))/9,81 = 4,307 s

Ответ

t = 4,307 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 3,355 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Ответ

a = 3,355 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 32,37 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 10,79)/11 = 3,924 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5,5·3,924 + 10,79 = 32,37 N

Ответ

T = 32,37 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 50,85 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 30° = 20,78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 30° = 12 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·12/9,81 = 2,446 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 20,78·2,446 = 50,85 m

Ответ

x = 50,85 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 1,553 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 15° = 16,42 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 15° = 4,4 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 5 + 4,4·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4,4 + √(19,36 + 98,1))/9,81 = 1,553 s

Ответ

t = 1,553 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 16,57 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·70) = 16,57 m/s

Ответ

v_max = 16,57 m/s (59,66 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T = 11,29 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·4,5²/1,1 = 3,924 + 7,364 = 11,29 N

Ответ

T = 11,29 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 4,46 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 4,905·0,866 = 4,248 N

F = μN = 0,35·4,248 = 1,487 N

Работа против трения

W_f = F·d = 1,487·3 = 4,46 J

Ответ

W_f = 4,46 J

10.Работа и энергия

Ответ: x = 17,44 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 4,905·(2 − 0,3·1,5) = 7,603 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 7,603 → x = √(2·7,603/500) = 0,1744 m = 17,44 cm

Ответ

x = 17,44 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −57 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Импульс до удара

p = M·u = 17·27 = 459 kg·m/s

Импульс после удара

459 = 14·45 + 3·v′₂

v′₂ = (459 − 630)/3 = −57 m/s

Ответ

v′₂ = −57 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: J = 7,8 N·s

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,2·(17 + 22) = 7,8 N·s

Ответ

J = 7,8 N·s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: N = 1299 rev

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

Работа тормоза равна кинетической энергии

½·I·ω² = ½·15,5·125,7² = 122383 J

θ = 122383/15 = 8159 rad

Обороты

N = θ/2π = 1299 rev

Ответ

N = 1299 rev

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: n₂ = 93,78 rpm

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Моменты инерции

I₁ = 3,5 + 2·4,5·0,9² = 10,79 kg·m²

I₂ = 3,5 + 2·4,5·0,35² = 4,603 kg·m²

Закон сохранения момента импульса

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 40·10,79/4,603 = 93,78 rpm

Ответ

n₂ = 93,78 rpm

Кинетическая энергия возрастает: дополнительная энергия берётся из работы человека, придвигающего гантели.

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_w = 54,38 rpm

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 1450·3/80 = 54,38 rpm

Ответ

n_w = 54,38 rpm

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: P = 3,34 kW

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = e^μθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Угол обхвата

θ = 2,79 rad

Натяжение ведомой ветви

e^μθ = e^0,8369 = 2,309, T₂ = 600/2,309 = 259,8 N

Мощность

P = (600 − 259,8)·9,817 = 3,34 kW

Ответ

P = 3,34 kW

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 11,16 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,5/1,33² = 11,16 m/s²

Ответ

g = 11,16 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 21,85 m/s²

Угловая частота

ω = √(460/4) = 10,72 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,19·10,72² = 21,85 m/s²

Ответ

a_max = 21,85 m/s²

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 8,704 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(150000/40) = 61,24 rad/s

f_n = 61,24/(2π) = 9,746 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 9,746·√(1 − 0,45²) = 8,704 Hz

Ответ

f_d = 8,704 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 4,359 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 20 = 30 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(30000/40) = 27,39 rad/s

f_n = 27,39/(2π) = 4,359 Hz

Ответ

f_n = 4,359 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics