Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 80 km/h, тормозит с постоянным замедлением 6 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 80 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 20 m/s с края крыши на высоте 30 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 19 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 19 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 3 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 50° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 20 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 35° к горизонту с вершины скалы высотой 5 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 25 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Дорожный инженер хочет, чтобы автомобили проходили поворот радиусом 170 m со скоростью 120 km/h, не полагаясь на трение. Примите g = 9,81 m/s². Найдите угол виража θ.

r = 170 mv = 120 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 35 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_top трассы на тележку в верхней точке петли.

m = 2,5 kgh = 35 mR = 7 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,35. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 14 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,35d = 14 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 1,5 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 4,5 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Автомобиль массой 1100 kg, движущийся со скоростью 13 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1900 kg, и они сцепляются. Какой процент ΔK/K исходной кинетической энергии теряется?

m₁ = 1100 kgv₁ = 13 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 15 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 6 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 15 m/sv_out = 6 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Двигатель развивает крутящий момент 1980 N·m при 2600 rpm. Найдите его выходную мощность P в kW.

T = 1980 N·mn = 2600 rpm

P = kW

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч массой 12,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 3 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 12,5 kgv = 3 m/sI = m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 3 kW с частотой вращения 1450 rpm приводит шестерню с числом зубьев 25, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 36. КПД зубчатой пары — 96 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 3 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 25N₂ = 36η = 96%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 1,5 kW с частотой 2900 rpm приводит колесо A (16 зубьев), которое зацепляется с колесом B (50 зубьев). Колесо C (40 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (50 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 96%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 1,5 kWn_in = 2900 rpmA = 16B = 50C = 40D = 50η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,4 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1 kg на пружине с k = 270 N/m оттягивают на 15 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.

m = 1 kgk = 270 N/mA = 15 cm

E = J

19.Механические колебанияСредняя

При испытании системы «масса–пружина» с демпфированием на свободные колебания за пиком смещения 50 mm через один цикл следует пик 30,2 mm. Найдите коэффициент демпфирования ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 30,2 mmn = 1

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 30 kN/m, у нижней k₂ = 12 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 25 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 41,15 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·6) = 41,15 m

Ответ

s = 41,15 m

2.Кинематика

Ответ: t = 5,244 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−30 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 30 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·30))/9,81 = 5,244 s

Ответ

t = 5,244 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 11,77 N

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 0)/5 = 3,924 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·3,924 + 0 = 11,77 N

Ответ

T = 11,77 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 11,96 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 50° = 12,86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 50° = 15,32 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 15,32²/(2·9,81) = 11,96 m

Ответ

H = 11,96 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 66,31 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 35° = 20,48 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 35° = 14,34 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 5 + 14,34·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,34 + √(205,6 + 98,1))/9,81 = 3,238 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 20,48·3,238 = 66,31 m

Ответ

x = 66,31 m

7.Движение по окружности

Ответ: θ = 33,67 °

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Единицы

v = 120/3,6 = 33,33 m/s

Угол виража

tan θ = v²/(r·g) = 33,33²/(170·9,81) = 0,6663

θ = 33,67°

Ответ

θ = 33,67°

8.Движение по окружности

Ответ: N_top = 122,6 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·(35 − 2·7) = 412 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R − m·g = 2,5·412/7 − 24,53 = 122,6 N

Ответ

N_top = 122,6 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 10,14 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·14·(0,6428 − 0,35·0,766)) = 10,14 m/s

Ответ

v = 10,14 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 5,425 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(4,5 − 3) = 29,43 m²/s²

v = 5,425 m/s

Ответ

v = 5,425 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: ΔK/K = 63,33 %

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1100·13/3000 = 4,767 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1100·13² = 92950 J

K_after = ½·3000·4,767² = 34082 J

Потерянная доля

ΔK/K = 58868/92950 = 63,33 %

Ответ

ΔK/K = 63,33 %

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 262,5 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(6 + 15) = 10,5 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 10,5/0,04 = 262,5 N

Ответ

F_avg = 262,5 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: P = 539,1 kW

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2600/60 = 272,3 rad/s

Мощность

P = T·ω = 1980·272,3 = 539097 W = 539,1 kW

Ответ

P = 539,1 kW

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 112,5 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·12,5·3² = 56,25 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·56,25 = 56,25 J

Итого

E_k = 56,25 + 56,25 = 112,5 J

Ответ

E_k = 112,5 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 27,31 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/151,8 = 19,76 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 19,76·36/25·0,96 = 27,31 N·m

Ответ

T₂ = 27,31 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 17,78 N·m

Скорость на выходе

n_out = 2900·(16/50)·(40/50) = 742,4 rpm

ω_out = 2π·742,4/60 = 77,74 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 1500·0,96² = 1382 W

T_out = P_out/ω_out = 1382/77,74 = 17,78 N·m

Ответ

T_out = 17,78 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: L = 0,487 m

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Выразите длину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Ответ

L = 0,487 m

18.Пружины и маятники

Ответ: E = 3,038 J

Угловая частота

ω = √(270/1) = 16,43 rad/s

Энергия

E = ½·k·A² = ½·270·0,15² = 3,038 J

Ответ

E = 3,038 J

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,07999

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Логарифмический декремент

δ = (1/1)·ln(50/30,2) = 0,5042

Коэффициент демпфирования

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,5042/√(39,48 + 0,2542) = 0,07999

Ответ

ζ = 0,07999

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 8,571 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/30 + 1/12 → k_eq = 30·12/(30 + 12) = 8,571 kN/m

Ответ

k_eq = 8,571 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics