Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 108 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3,5 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 108 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 19 m/s с края крыши на высоте 5 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 19 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 12 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 12 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 15° со скоростью 8 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 8 m/sθ = 15°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 25° к горизонту, и он падает на расстоянии 95 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 25°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 20° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 26 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Поворот радиусом 360 m имеет вираж с уклоном 5°. С какой скоростью v автомобиль может пройти его вообще без участия трения? Примите g = 9,81 m/s².

r = 360 mθ = 5°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 1,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4,8 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 1 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 1,5 kgh = 4,8 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль, движущийся со скоростью 30 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,4. Найдите тормозной путь d.

v = 30 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 3,5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 3 m (μ = 0,25), а затем наезжает на пружину (k = 1500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 4 kgh = 3,5 mL = 3 mμ = 0,25k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3 kg, движущаяся со скоростью 4 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,55 kg ударяется о стену со скоростью 22 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 9 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,55 kgv_in = 22 m/sv_out = 9 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 39,5 kg·m² вращается с частотой 1500 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 130 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?

I = 39,5 kg·m²n = 1500 rpmT_b = 130 N·m

N = rev

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 20° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a его центра.

θ = 20°I = m·r²g = 9,81 m/s²

a = m/s²

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 3 kW с частотой вращения 960 rpm приводит шестерню с числом зубьев 18, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 80. КПД зубчатой пары — 98 %. Найдите выходной крутящий момент T₂ на валу колеса.

P = 3 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 18N₂ = 80η = 98%

T₂ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (50 зуб.) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (60 зуб.). Колесо C (32 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (36 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 960 rpmA = 50B = 60C = 32D = 36

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,9 m имеет период малых колебаний 6,8 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,9 mT = 6,8 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,2 s и амплитудой 15 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 15 cm в точку со смещением 10,5 cm?

T = 3,2 sA = 15 cmx = 10,5 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 50 kg на пружине жёсткостью 25 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,45. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 50 kgk = 25 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 5 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 80 kN/m и k₂ = 5 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 128,6 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·3,5) = 128,6 m

Ответ

s = 128,6 m

2.Кинематика

Ответ: t = 4,121 s

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−5 = 19·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 19·t − 5 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (19 + √(19² + 2·9,81·5))/9,81 = 4,121 s

Ответ

t = 4,121 s

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 5,946 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 15° + 0,3·cos 15°) = 5,382 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·5,382) = 5,946 m

Ответ

d = 5,946 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 34,88 m/s

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 50°) = 34,88 m/s

Ответ

v₀ = 34,88 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,376 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 20° = 24,43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 20° = 8,893 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 55 + 8,893·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,893 + √(79,08 + 1079))/9,81 = 4,376 s

Ответ

t = 4,376 s

7.Движение по окружности

Ответ: v = 17,58 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Баланс сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Скорость

v = √(r·g·tan θ) = √(360·9,81·tan 5°) = 17,58 m/s

Ответ

v = 17,58 m/s

(63,28 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 156 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·4,8 = 94,18 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 1,5·94,18/1 + 14,71 = 156 N

Ответ

N_bottom = 156 N

9.Работа и энергия

Ответ: d = 8,849 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Скорость в основных единицах

v = 30/3,6 = 8,333 m/s

Энергетический баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8,333²/(2·0,4·9,81) = 8,849 m

Ответ

d = 8,849 m

При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 7,345 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 39,24·(3,5 − 0,25·3) = 107,9 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,75) = 7,345 m/s

Ответ

v = 7,345 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 0,3636 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3 − 2,5)/(3 + 2,5)·4 = 0,3636 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2,5)·4 = 4,364 m/s

Ответ

v′₁ = 0,3636 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 852,5 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,55·(9 + 22) = 17,05 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 17,05/0,02 = 852,5 N

Ответ

F_avg = 852,5 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: N = 596,6 rev

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

Работа тормоза равна кинетической энергии

½·I·ω² = ½·39,5·157,1² = 487312 J

θ = 487312/130 = 3749 rad

Обороты

N = θ/2π = 596,6 rev

Ответ

N = 596,6 rev

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: a = 1,678 m/s²

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 20°/2 = 1,678 m/s²

Ответ

a = 1,678 m/s²

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₂ = 130 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·960/60 = 100,5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/100,5 = 29,84 N·m

Выходной крутящий момент

T₂ = 29,84·80/18·0,98 = 130 N·m

Ответ

T₂ = 130 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 711,1 rpm

Первая ступень

n_B = 960·50/60 = 800 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 800·32/36 = 711,1 rpm

Ответ

n_out = 711,1 rpm

общее передаточное отношение = 1,35 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 1,622 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,9/6,8² = 1,622 m/s²

Ответ

g = 1,622 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,4051 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,2 = 1,963 rad/s

Выразите время

0,7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,7) = 0,7954 rad

t = 0,7954/1,963 = 0,4051 s

Ответ

t = 0,4051 s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 3,178 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(25000/50) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,45²) = 3,178 Hz

Ответ

f_d = 3,178 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 20,75 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 5 = 85 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(85000/5) = 130,4 rad/s

f_n = 130,4/(2π) = 20,75 Hz

Ответ

f_n = 20,75 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics