Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.
Автомобиль, едущий со скоростью 120 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5,5 m/s² до полной остановки. Сколько длится торможение? Найдите t.
Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 14 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.
Санки массой 20 kg тянут по горизонтальному снегу верёвкой под углом 35° к горизонту с силой 190 N. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a санок.
Брусок массой 4 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 9 kg. Висящий груз движется вниз. Наклонная плоскость гладкая (без трения). Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.
Мяч бросают с горизонтальной поверхности со скоростью 12 m/s, и он должен упасть на расстоянии 5 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите меньший из двух возможных углов броска θ.
Мяч бросают со скоростью 19 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 55 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.
В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.
Тележку массой 3 kg отпускают без начальной скорости на высоте 10,5 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 3,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции Ntop трассы на тележку в верхней точке петли.
Автомобиль, движущийся со скоростью 40 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,6. Найдите тормозной путь d.
Пружину жёсткостью 5000 N/m у основания наклонной плоскости 20° сжимают на 8 cm бруском массой 1 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,25. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)
Тележка массой 1 kg, движущаяся со скоростью 8 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′2 второй тележки после столкновения.
На перекрёстке автомобиль массой 1200 kg, едущий на восток со скоростью 13 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1500 kg, едущим на север со скоростью 23 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.
Маховик с моментом инерции 8,5 kg·m² вращается с частотой 3000 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 155 N·m. За какое время t он остановится?
Однородный тонкий стержень массой 7,5 kg и длиной 1,6 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 10 g, летящая горизонтально со скоростью 300 m/s, попадает в стержень на 0,79 m ниже шарнира и застревает в нём. Найдите угловую скорость ω стержня сразу после удара.
Двигатель мощностью 7,5 kW с частотой вращения 1450 rpm приводит шестерню с числом зубьев 45, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 60. КПД зубчатой пары — 98 %. Найдите крутящий момент T1 на валу двигателя.
В планетарной передаче солнечная шестерня имеет 30 зубьев, а каждый сателлит — 20 зубьев. Коронное колесо закреплено, солнечная шестерня вращается с частотой 1440 rpm. Найдите частоту вращения nc водила.
Какой длины должен быть математический маятник, чтобы его период был 1,8 s? Примите g = 9,81 m/s². Найдите L.
Груз массой 3,6 kg на пружине с k = 20 N/m оттягивают на 9 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите полную энергию E колебаний.
Груз массой 50 kg на пружине жёсткостью 12 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,7. Найдите частоту fd его свободных затухающих колебаний в Hz.
Груз массой 40 kg висит на пружине k₃ = 80 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 10 kN/m и k₂ = 80 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту fn вертикальных колебаний в Hz.
Ответ: t = 6,061 s
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Ответ: t = 3,446 s
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.
Физический смысл имеет только положительный корень.
Ответ: a = 6,474 m/s²
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Ответ: T = 42,75 N
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Ответ: θ = 9,957 °
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Второе решение: 90° − θ = 80,04°.
Ответ: H = 65,8 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Ответ: n = 27,3 rpm
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Ответ: Ntop = 29,43 N
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Направление к центру положительно.
Ответ: d = 10,49 m
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.
Ответ: d = 2,827 m
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Ответ: v′2 = 2,667 m/s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.
Ответ: v′ = 14,02 m/s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Ответ: t = 17,23 s
Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.
Ответ: ω = 0,37 rad/s
Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.
Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.
Ответ: T1 = 49,39 N·m
Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.
Ответ: nc = 432 rpm
Планетарные передачи: частоты вращения солнечной шестерни, коронного колеса и водила связаны формулой Виллиса (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns: относительно водила передача — обычная рядовая, а сателлиты играют роль паразитных колёс. Закрепление одного звена превращает её в редуктор с одним передаточным отношением.
Положите nr = 0 и найдите частоту вращения водила.
Водило вращается в том же направлении, что и солнечная шестерня.
Ответ: L = 0,8051 m
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Ответ: E = 0,081 J
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Ответ: fd = 1,761 Hz
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Ответ: fn = 5,179 Hz
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Параллельно соединены только k1 и k2. Эта пара соединена последовательно с k3, поэтому складывайте обратные величины.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics