Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 33 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s². На каком расстоянии от места старта полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите d.

v_car = 33 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 4,8 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 4,8 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Грузы массами 8,5 kg и 5 kg висят по обе стороны лёгкого блока без трения и связаны лёгкой нитью. Систему отпускают из состояния покоя. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a грузов.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 7,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 1,5 kg. Трения о стол нет. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 75° к горизонту, и он падает на расстоянии 85 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 75°R = 85 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 16 m/s под углом 55° к горизонту с вершины обрыва высотой 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 16 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 60 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,8. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 60 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 0,9 kg на лёгкой нити длиной 0,7 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 12 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 0,9 kgr = 0,7 mv_bottom = 12 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,4. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 11 m вдоль плоскости.

θ = 35°μ = 0,4d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 20° и тянется вверх по ней постоянной силой 55 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 10 m вверх по плоскости.

m = 5 kgF = 55 Nθ = 20°μ = 0,2d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 7 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

На перекрёстке автомобиль массой 1500 kg, едущий на восток со скоростью 11 m/s, сталкивается с автомобилем массой 1700 kg, едущим на север со скоростью 16 m/s. Автомобили сцепляются. Найдите скорость v′ обломков сразу после столкновения.

m₁ = 1500 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1700 kgv₂ = 16 m/s (N)

v′ = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 22 kg·m² вращается с частотой 1800 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 75 N·m. За какое время t он остановится?

I = 22 kg·m²n = 1800 rpmT_b = 75 N·m

t = s

14.Вращение твёрдого телаСложная

Однородный тонкий стержень массой 3,5 kg и длиной 1,1 m неподвижно висит на шарнире без трения в своём верхнем конце. Пуля массой 30 g, летящая горизонтально со скоростью 100 m/s, попадает в стержень на 0,49 m ниже шарнира и застревает в нём. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольший угол φ отклонения стержня от вертикали.

M = 3,5 kgL = 1,1 mm = 30 gv = 100 m/sd = 0,49 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 15 kW с частотой вращения 2900 rpm приводит шестерню с числом зубьев 32, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 48. КПД зубчатой пары — 97 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 15 kWn₁ = 2900 rpmN₁ = 32N₂ = 48η = 97%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (25 зуб.) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (32 зуб.). Колесо C (20 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (32 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 960 rpmA = 25B = 32C = 20D = 32

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 1 kg на пружине с k = 20 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 4 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 1 kgk = 20 N/mA = 4 cmx = 1 cm

v = m/s

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 0,6 s и амплитудой 9 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 8,1 cm?

T = 0,6 sA = 9 cmx = 8,1 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 500 kg опирается на пружину жёсткостью 80 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 1010 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 500 kgk = 80 kN/mc = 1010 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 40 kg висит на пружине k₃ = 5 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 25 kN/m и k₂ = 30 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 40 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 622,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/3,5 = 18,86 s

Путь

d = v·t = 33·18,86 = 622,3 m

Ответ

d = 622,3 m

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 66 m/s.

2.Кинематика

Ответ: d = 99,73 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(4,8 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1646 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1646))/(2·4,905) = 4,509 s

Глубина

d = ½·9,81·4,509² = 99,73 m

Ответ

d = 99,73 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,543 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Ускорение

Движущая равнодействующая — это разность весов; она разгоняет полную массу.

a = (8,5 − 5)·9,81/(8,5 + 5) = 2,543 m/s²

Ответ

a = 2,543 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 12,26 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/9 = 1,635 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·1,635 + 0 = 12,26 N

Ответ

T = 12,26 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 40,84 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·85/sin 150°) = 40,84 m/s

Ответ

v₀ = 40,84 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 53,76 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 16·sin 55° = 13,11 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 13,11²/(2·9,81) = 8,755 m

Высота над землёй

H = 45 + 8,755 = 53,76 m

Ответ

H = 53,76 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,7 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·60) = 21,7 m/s

Ответ

v_max = 21,7 m/s (78,12 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 141 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 12² − 4·9,81·0,7 = 116,5 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,9·116,5/0,7 − 0,9·9,81 = 141 N

Ответ

T_top = 141 N

9.Работа и энергия

Ответ: v = 7,285 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,5736 − 0,4·0,8192)) = 7,285 m/s

Ответ

v = 7,285 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 10,77 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 16,78 N

μ·mg·cos θ = 9,218 N

Работа и энергия

½mv² = (55 − 25,99)·10 = 290,1 J

v = √(2·290,1/5) = 10,77 m/s

Ответ

v = 10,77 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 3,889 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 1)/(3,5 + 1)·7 = 3,889 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1)·7 = 10,89 m/s

Ответ

v′₁ = 3,889 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v′ = 9,942 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Составляющие импульса

p_x = 1500·11 = 16500 kg·m/s

p_y = 1700·16 = 27200 kg·m/s

Скорость обломков

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 31813/3200 = 9,942 m/s

Ответ

v′ = 9,942 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 55,29 s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

Замедление и время

α = T_b/I = 75/22 = 3,409 rad/s²

t = ω/α = 188,5/3,409 = 55,29 s

Ответ

t = 55,29 s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: φ = 16,26 °

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Момент инерции после удара

I = M·L²/3 + m·d² = 3,5·1,1²/3 + 0,03·0,49² = 1,419 kg·m²

Момент импульса относительно шарнира

Сила в шарнире проходит через шарнир, поэтому во время удара её момент относительно него равен нулю.

m·v·d = I·ω → ω = 0,03·100·0,49/1,419 = 1,036 rad/s

Энергия при качании

½·I·ω² = ½·1,419·1,036² = 0,7615 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 19,03·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 0,7615/19,03 = 0,96 → φ = 16,26°

Ответ

φ = 16,26°

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 49,39 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/303,7 = 49,39 N·m

Ответ

T₁ = 49,39 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 468,8 rpm

Первая ступень

n_B = 960·25/32 = 750 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 750·20/32 = 468,8 rpm

Ответ

n_out = 468,8 rpm

общее передаточное отношение = 2,048 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,1732 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(20/1) = 4,472 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 4,472·√(0,04² − 0,01²) = 0,1732 m/s

Ответ

v = 0,1732 m/s

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1069 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/0,6 = 10,47 rad/s

Выразите время

0,9 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,9) = 1,12 rad

t = 1,12/10,47 = 0,1069 s

Ответ

t = 0,1069 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,07985

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·500) = 12649 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 1010/12649 = 0,07985

Ответ

ζ = 0,07985

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 1,704 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 25 + 30 = 55 kN/m

k_eq = 55·5/(55 + 5) = 4,583 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(4583/40) = 10,7 rad/s

f_n = 10,7/(2π) = 1,704 Hz

Ответ

f_n = 1,704 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics