Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Для взлёта самолёту нужна скорость 220 km/h, а длина полосы 800 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 220 km/hs = 800 m

a = m/s²

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 11 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 11 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 11 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 35° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 11 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 35° со скоростью 5,5 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 5,5 m/sθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 65° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 20 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 40° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 4 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую угловую скорость ω в rad/s.

r = 4 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,9 kg на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 7 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 1,9 kgr = 1,4 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Шарик массой 0,5 kg висит на лёгкой нити длиной 1 m. Его отводят в сторону, пока нить не составит 70° с вертикалью, и отпускают без начальной скорости. Найдите силу натяжения T нити в момент прохождения шариком нижней точки.

m = 0,5 kgL = 1 mθ = 70°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 5 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 15° и тянется вверх по ней постоянной силой 55 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 9 m вверх по плоскости.

m = 5 kgF = 55 Nθ = 15°μ = 0,3d = 9 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 8 kg, движущийся горизонтально со скоростью 23 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 2 kg продолжает движение вперёд со скоростью 61 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 6 kg (положительна в исходном направлении).

M = 8 kgu = 23 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 61 m/sm₂ = 6 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,15 kg ударяется о стену со скоростью 12 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 14 m/s. Контакт длится 20 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,15 kgv_in = 12 m/sv_out = 14 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 17 kg и длиной 0,5 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите вертикальную силу R, с которой шарнир действует на стержень сразу после освобождения.

m = 17 kgL = 0,5 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч массой 17,5 kg катится без проскальзывания со скоростью 10 m/s. Найдите его полную кинетическую энергию E_k.

m = 17,5 kgv = 10 m/sI = m·r²

E_k = J

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Два параллельных вала расположены на расстоянии 36 mm. Их нужно соединить парой прямозубых колёс с модулем 1,5 mm и передаточным отношением 2 : 1 (понижающая передача). Сколько зубьев N₁ должна иметь шестерня?

a = 36 mmm = 1,5 mmi = 2

N₁ =

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 3 kW с частотой 960 rpm приводит колесо A (12 зубьев), которое зацепляется с колесом B (24 зубьев). Колесо C (25 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (50 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 96%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 3 kWn_in = 960 rpmA = 12B = 24C = 25D = 50η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 0,9 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 0,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 2,6 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 280 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 2,6 kgk = 280 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 50 kg на пружине жёсткостью 80 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,6. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 50 kgk = 80 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 10 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 50 kN/m, у нижней k₂ = 60 kN/m. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: a = 2,334 m/s²

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v = 220/3,6 = 61,11 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 61,11²/(2·800) = 2,334 m/s²

Ответ

a = 2,334 m/s²

2.Кинематика

Ответ: h_max = 46,17 m

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9,81) = 6,167 m

Высота над землёй

h_max = 40 + 6,167 = 46,17 m

Ответ

h_max = 46,17 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,627 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Ответ

a = 5,627 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 2,352 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 35° + 0,1·cos 35°) = 6,43 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·6,43) = 2,352 m

Ответ

d = 2,352 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 16,75 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 65° = 8,452 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 65° = 18,13 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 18,13²/(2·9,81) = 16,75 m

Ответ

H = 16,75 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 134,6 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24,51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20,57 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 20,57·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,57 + √(423,1 + 686,7))/9,81 = 5,493 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 24,51·5,493 = 134,6 m

Ответ

x = 134,6 m

7.Движение по окружности

Ответ: ω = 2,022 rad/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·4)) = 2,022 rad/s

Ответ

ω = 2,022 rad/s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 85,14 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,9·9,81 + 1,9·7²/1,4 = 18,64 + 66,5 = 85,14 N

Ответ

T = 85,14 N

9.Работа и энергия

Ответ: T = 11,36 N

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). При движении по окружности равнодействующая, направленная к центру, должна быть равна mv²/r.

Скорость в нижней точке

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 70°) = 12,91 m²/s²

Силы в нижней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·12,91/1 = 11,36 N

Ответ

T = 11,36 N

Проверка: T = mg(3 − 2cos θ) = 11,36 N.

10.Работа и энергия

Ответ: v = 10,06 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 12,7 N

μ·mg·cos θ = 14,21 N

Работа и энергия

½mv² = (55 − 26,91)·9 = 252,8 J

v = √(2·252,8/5) = 10,06 m/s

Ответ

v = 10,06 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 10,33 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Импульс до удара

p = M·u = 8·23 = 184 kg·m/s

Импульс после удара

184 = 2·61 + 6·v′₂

v′₂ = (184 − 122)/6 = 10,33 m/s

Ответ

v′₂ = 10,33 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 195 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,15·(14 + 12) = 3,9 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 3,9/0,02 = 195 N

Ответ

F_avg = 195 N

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: R = 41,69 N

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,5) = 29,43 rad/s²

Вертикальные силы

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 17·(9,81 − 7,357) = 41,69 N

Ответ

R = 41,69 N

R = m·g/4, не зависит от длины.

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: E_k = 1750 J

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Поступательная часть и часть вращения

E_trans = ½·m·v² = ½·17,5·10² = 875 J

E_rot = ½·I·ω² = ½·1·m·r²·(v/r)² = 1·875 = 875 J

Итого

E_k = 875 + 875 = 1750 J

Ответ

E_k = 1750 J

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N₁ = 16

Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: F_t = 2T/d.

Суммарное число зубьев

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·36/1,5 = 48

Делим по передаточному отношению

N₁ = 48/(1 + 2) = 16

Ответ

N₁ = 16

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 110 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Скорость на выходе

n_out = 960·(12/24)·(25/50) = 240 rpm

ω_out = 2π·240/60 = 25,13 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 3000·0,96² = 2765 W

T_out = P_out/ω_out = 2765/25,13 = 110 N·m

Ответ

T_out = 110 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 1,903 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(0,9/9,81) = 1,903 s

Ответ

T = 1,903 s

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,9453 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 2,6·9,81/280 = 0,09109 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(280/2,6) = 10,38 rad/s

v_max = A·ω = 0,09109·10,38 = 0,9453 m/s

Ответ

v_max = 0,9453 m/s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 5,093 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(80000/50) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6,366 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6,366·√(1 − 0,6²) = 5,093 Hz

Ответ

f_d = 5,093 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 8,312 Hz

Эквивалентная жёсткость

Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/50 + 1/60 → k_eq = 50·60/(50 + 60) = 27,27 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(27273/10) = 52,22 rad/s

f_n = 52,22/(2π) = 8,312 Hz

Ответ

f_n = 8,312 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics