Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.
Водитель, едущий со скоростью 80 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,7 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 8 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.
Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 17 m/s с края крыши на высоте 20 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.
Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 8 m/s и останавливается через 65 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.
Брусок массой 7,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.
Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Мяч бросают под углом 50° к горизонту с вершины скалы высотой 40 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 30 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость vmax, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.
Шарик массой 0,8 kg на нити длиной 1,4 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 3,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.
Автомобиль, движущийся со скоростью 40 km/h по горизонтальной дороге, резко тормозит и с заблокированными колёсами скользит до остановки. Коэффициент трения скольжения между шинами и дорогой равен 0,8. Найдите тормозной путь d.
Брусок массой 5 kg лежит на шероховатом горизонтальном столе (μ = 0,2). От него лёгкая нить идёт через гладкий блок на краю стола к висящему грузу массой 6 kg. Систему отпускают из состояния покоя. Найдите скорость v грузов после того, как висящий груз опустится на 2,5 m.
Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 5 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 2,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′1 первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).
Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 2 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,9 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.
Груз массой 3,5 kg висит на лёгкой нити, намотанной на блок — однородный сплошной диск массой 2 kg и радиусом 0,15 m, вращающийся на гладкой горизонтальной оси. Груз отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.
Однородный сплошной диск (масса 7 kg, радиус 0,2 m) свободно вращается с частотой 700 rpm на вертикальном валу без трения. На него без начальной скорости опускается тонкое кольцо массой 8 kg того же радиуса, центрированное на валу, и оба тела быстро начинают вращаться вместе. Сколько кинетической энергии ΔE теряется в этом процессе?
Двигатель мощностью 11 kW с частотой вращения 1450 rpm приводит шестерню с 30 зубьями и модулем 4 mm. Найдите окружную силу Ft на зубьях шестерни.
Открытый ремень соединяет ведущий шкив 160 mm с частотой 1440 rpm со шкивом 400 mm; расстояние между центрами 1200 mm. Коэффициент трения равен 0,3, а натяжение ведущей ветви не должно превышать 2000 N. Найдите наибольшую мощность P, которую ремень может передать без проскальзывания, в kW (центробежными эффектами пренебрегите).
Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,6 m имеет период малых колебаний 2,52 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.
Груз на пружине с k = 270 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 20 cm. Найдите его кинетическую энергию K на расстоянии 9 cm от положения равновесия.
Груз массой 20 kg опирается на пружину жёсткостью 50 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 800 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.
Груз массой 20 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 30 kN/m и k₂ = 60 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость keq системы пружин в kN/m.
Ответ: d = 46,42 m
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Ответ: t = 4,394 s
Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.
Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.
Физический смысл имеет только положительный корень.
Ответ: μ = 0,05018
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Ответ: a = 1,839 m/s²
Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.
Ответ: x = 26,1 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Старт и приземление на одной высоте: t = 2vy/g.
Ответ: x = 41,05 m
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
Ответ: vmax = 10,85 m/s
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
Ответ: T = 14,85 N
Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.
К центру (вверх) — положительное направление.
Ответ: d = 7,865 m
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
При удвоении скорости тормозной путь увеличивается в четыре раза.
Ответ: v = 4,722 m/s
Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).
Ответ: v′1 = 1,429 m/s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.
Ответ: v = 207,4 m/s
Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.
Ответ: T = 7,63 N
Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.
Ответ: ΔE = 261,7 J
Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.
Ответ: Ft = 1207 N
Геометрия зубчатых колёс: модуль m задаёт размер зуба. Колесо с N зубьями имеет делительный диаметр d = m·N, два зацепляющихся колеса имеют одинаковый модуль, а их межосевое расстояние a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Окружная скорость v = π·d·n/60, а окружная сила на зубе следует из момента: Ft = 2T/d.
Ответ: P = 14,14 kW
Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = eμθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.
Ответ: g = 3,73 m/s²
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Ответ: K = 4,307 J
Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².
Ответ: ζ = 0,4
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.
Ответ: keq = 90 kN/m
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics