Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 45 km/h, видит препятствие. Время её реакции 0,8 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 7 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 45 km/ht_r = 0,8 sa = −7 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Трамвай трогается с места и разгоняется с ускорением 2,5 m/s² в течение 4 s, затем движется с постоянной скоростью 11 s и, наконец, тормозит с замедлением 2 m/s² до остановки. Найдите полный путь s между двумя остановками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 11 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 5 kg скользит вниз по гладкой наклонной плоскости под углом 45° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 5 kgθ = 45°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 15° со скоростью 12 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 12 m/sθ = 15°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 36 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 30° к горизонту с вершины скалы высотой 45 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 21 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Движение по окружностиСредняя

Маленький шарик на нити длиной 0,5 m движется по горизонтальной окружности так, что нить составляет постоянный угол 20° с вертикалью (конический маятник). Примите g = 9,81 m/s². Найдите время T одного оборота.

L = 0,5 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 2 kg на нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 8,5 m/s. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити в нижней точке.

m = 2 kgr = 1,2 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 500 N/m. На неё кладут мяч массой 0,25 kg, сжимают пружину на 8 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,25 kgk = 500 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 4 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 5000 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 2,5 kgh = 4 mL = 1 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Снаряд массой 20 kg, движущийся горизонтально со скоростью 34 m/s, разрывается на два осколка, движущихся вдоль той же прямой. Осколок массой 13 kg продолжает движение вперёд со скоростью 90 m/s. Найдите скорость v′₂ осколка массой 7 kg (положительна в исходном направлении).

M = 20 kgu = 34 m/sm₁ = 13 kgv′₁ = 90 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,1 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 35° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 1,5 kgL = 1,1 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Однородный тонкий стержень массой 6,5 kg и длиной 0,6 m закреплён шарниром на одном конце и удерживается горизонтально. Его отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его угловое ускорение α сразу после освобождения.

m = 6,5 kgL = 0,6 mg = 9,81 m/s²

α = rad/s²

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 40° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьший коэффициент трения покоя μ_s, при котором нет проскальзывания.

θ = 40°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 1,1 kW с частотой вращения 1440 rpm приводит шестерню с числом зубьев 30, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 60. КПД зубчатой пары — 98 %. Найдите крутящий момент T₁ на валу двигателя.

P = 1,1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 30N₂ = 60η = 98%

T₁ = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

Двигатель мощностью 11 kW с частотой 1450 rpm приводит колесо A (45 зубьев), которое зацепляется с колесом B (72 зубьев). Колесо C (15 зубьев) на одном валу с B приводит колесо D (72 зубьев) на выходном валу. КПД каждого зацепления 96%. Найдите выходной вращающий момент T_out.

P = 11 kWn_in = 1450 rpmA = 45B = 72C = 15D = 72η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 1,2 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 1,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 1,8 s и амплитудой 6 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из положения равновесия в точку со смещением 3,6 cm?

T = 1,8 sA = 6 cmx = 3,6 cm

t = s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 150 kg опирается на пружину жёсткостью 20 kN/m и вязкий демпфер с коэффициентом демпфирования 2080 N·s/m. Найдите относительный коэффициент демпфирования ζ.

m = 150 kgk = 20 kN/mc = 2080 N·s/m

ζ =

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 100 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 60 kN/m и k₂ = 25 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Найдите эквивалентную жёсткость k_eq системы пружин в kN/m.

m = 100 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 21,16 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 12,5·0,8 = 10 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·7) = 11,16 m

Итого

d = 10 + 11,16 = 21,16 m

Ответ

d = 21,16 m

2.Кинематика

Ответ: s = 155 m

Наибольшая скорость

v = a₁·t₁ = 2,5·4 = 10 m/s

Путь на каждом этапе

s₁ = ½·2,5·4² = 20 m

s₂ = 10·11 = 110 m

s₃ = 10²/(2·2) = 25 m

Полный путь

s = 20 + 110 + 25 = 155 m

Ответ

s = 155 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,937 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0) = 6,937 m/s²

Ответ

a = 6,937 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 16,24 m

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 15° + 0,2·cos 15°) = 4,434 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·4,434) = 16,24 m

Ответ

d = 16,24 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 114,4 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 60° = 18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 60° = 31,18 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·31,18/9,81 = 6,356 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18·6,356 = 114,4 m

Ответ

x = 114,4 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 77,89 m

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 30° = 18,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 30° = 10,5 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 45 + 10,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,5 + √(110,2 + 882,9))/9,81 = 4,283 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 18,19·4,283 = 77,89 m

Ответ

x = 77,89 m

7.Движение по окружности

Ответ: T = 1,375 s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Радиус окружности

r = L·sin θ = 0,5·sin 20° = 0,171 m

Скорость

Сила натяжения и сила тяжести вместе дают силу, направленную к центру: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,171·9,81·tan 20°) = 0,7814 m/s

Период

T = 2π·r/v = 2π·0,171/0,7814 = 1,375 s

Ответ

T = 1,375 s

8.Движение по окружности

Ответ: T = 140 N

Силы в нижней точке

К центру (вверх) — положительное направление.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·8,5²/1,2 = 19,62 + 120,4 = 140 N

Ответ

T = 140 N

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,6524 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·500·0,08² = 1,6 J

Высота

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 1,6/2,453 = 0,6524 m

Ответ

h = 0,6524 m

10.Работа и энергия

Ответ: v = 8,747 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 24,53·(4 − 0,1·1) = 95,65 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,9) = 8,747 m/s

Ответ

v = 8,747 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = −70 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Импульс до удара

p = M·u = 20·34 = 680 kg·m/s

Импульс после удара

680 = 13·90 + 7·v′₂

v′₂ = (680 − 1170)/7 = −70 m/s

Ответ

v′₂ = −70 m/s

Знак минус означает, что второй осколок летит назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 298,3 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,1·(1 − cos 35°) = 0,1989 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,1989) = 1,976 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,51·1,976/0,01 = 298,3 m/s

Ответ

v = 298,3 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: α = 24,53 rad/s²

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Моменты относительно шарнира

В момент освобождения ω = 0, поэтому центростремительного ускорения нет, и центр ускоряется строго вниз.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·0,6) = 24,53 rad/s²

Ответ

α = 24,53 rad/s²

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: μ_s = 0,2397

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 40°/1,4 = 4,504 m/s²

Необходимое трение

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,4·tan 40°/1,4 = 0,2397

Ответ

μ_s = 0,2397

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T₁ = 7,295 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150,8 = 7,295 N·m

Ответ

T₁ = 7,295 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_out = 512,7 N·m

Скорость на выходе

n_out = 1450·(45/72)·(15/72) = 188,8 rpm

ω_out = 2π·188,8/60 = 19,77 rad/s

Выходная мощность и момент

P_out = 11000·0,96² = 10138 W

T_out = P_out/ω_out = 10138/19,77 = 512,7 N·m

Ответ

T_out = 512,7 N·m

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 2,198 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(1,2/9,81) = 2,198 s

Ответ

T = 2,198 s

18.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,1843 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/1,8 = 3,491 rad/s

Выразите время

0,6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,6) = 0,6435 rad

t = 0,6435/3,491 = 0,1843 s

Ответ

t = 0,1843 s

19.Механические колебания

Ответ: ζ = 0,6004

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Критическое демпфирование

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·150) = 3464 N·s/m

Коэффициент демпфирования

ζ = c/c_c = 2080/3464 = 0,6004

Ответ

ζ = 0,6004

ζ < 1, поэтому демпфирование слабое, и система совершает затухающие колебания.

20.Механические колебания

Ответ: k_eq = 85 kN/m

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 25 = 85 kN/m

Ответ

k_eq = 85 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics