Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, едущий со скоростью 54 km/h, тормозит с постоянным замедлением 3 m/s² до полной остановки. Найдите тормозной путь s.

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 28 m/s², направленное вверх, в течение 1 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 28 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 8 m/s и останавливается через 11 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 8 m/sd = 11 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 3 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 3 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 16 m/s под углом 20° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 12 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 16 m/sθ = 20°x = 12 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 35 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 21 m/sθ = 55°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 120 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 120 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Тележку массой 3,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 38,95 m на трассе без трения, и она проходит вертикальную петлю радиусом 9,5 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N_bottom трассы на тележку в нижней точке петли.

m = 3,5 kgh = 38,95 mR = 9,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg въезжает на подъём 3° с постоянной скоростью 36 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 250 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1000 kgθ = 3°F_r = 250 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 8 kg начинает движение из состояния покоя у основания наклонной плоскости 25° и тянется вверх по ней постоянной силой 65 N, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,25. Найдите скорость v бруска после того, как он переместится на 7 m вверх по плоскости.

m = 8 kgF = 65 Nθ = 25°μ = 0,25d = 7 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 4,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 3 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,3 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 20° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 4,5 kgL = 1,3 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 15,5 kg·m² вращается с частотой 2200 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 150 N·m. За какое время t он остановится?

I = 15,5 kg·m²n = 2200 rpmT_b = 150 N·m

t = s

14.Вращение твёрдого телаСложная

сплошной шар катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 15° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьший коэффициент трения покоя μ_s, при котором нет проскальзывания.

θ = 15°I = (2/5)·m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 2,2 kW с частотой 1450 rpm приводит червяк с числом заходов 3. Червячное колесо имеет 60 зубьев, КПД передачи 80%. Найдите выходной вращающий момент T_w на валу колеса.

z = 3N_w = 60n = 1450 rpmP = 2,2 kWη = 80%

T_w = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (24 зубьев) на входном валу вращается с частотой 1500 rpm и приводит колесо B (25 зубьев). Колесо C (40 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 1152 rpm. Сколько зубьев N_D должно иметь колесо D?

n_in = 1500 rpmA = 24B = 25C = 40n_out = 1152 rpm

N_D =

17.Пружины и маятникиСредняя

Длина математического маятника 2,7 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите его период T при малых колебаниях.

L = 2,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 5 g, летящая со скоростью 450 m/s, попадает в брусок массой 4 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 1300 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 5 gv = 450 m/sM = 4 kgk = 1300 N/m

A = cm

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 40 kg на пружине жёсткостью 100 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,7. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 40 kgk = 100 kN/mζ = 0,7

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 20 kg висит на двух пружинах, расположенных рядом (параллельно), с жёсткостями k₁ = 80 kN/m и k₂ = 15 kN/m. Груз остаётся горизонтальным. Пренебрегите демпфированием и массами пружин. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: s = 37,5 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Тормозной путь

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3) = 37,5 m

Ответ

s = 37,5 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 53,96 m

Активный участок

v₁ = 28·1 = 28 m/s

h₁ = ½·28·1² = 14 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 28²/(2·9,81) = 39,96 m

h_max = 14 + 39,96 = 53,96 m

Ответ

h_max = 53,96 m

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,2965

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 8²/(2·11) = 2,909 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,909/9,81 = 0,2965

Ответ

μ = 0,2965

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,101 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 5,886)/7,5 = 5,101 m/s²

Ответ

a = 5,101 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 1,243 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 16·cos 20° = 15,04 m/s

t = x/v_x = 12/15,04 = 0,7981 s

Высота в этот момент

y = 5,472·0,7981 − ½·9,81·0,7981² = 1,243 m

Ответ

y = 1,243 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 4,949 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 55° = 12,05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 55° = 17,2 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 35 + 17,2·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17,2 + √(295,9 + 686,7))/9,81 = 4,949 s

Ответ

t = 4,949 s

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,58 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·120) = 26,58 m/s

Ответ

v_max = 26,58 m/s (95,68 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: N_bottom = 315,9 N

Скорость из закона сохранения энергии

v² = 2·9,81·38,95 = 764,2 m²/s²

Силы

Направление к центру положительно.

N = m·v²/R + m·g = 3,5·764,2/9,5 + 34,34 = 315,9 N

Ответ

N_bottom = 315,9 N

9.Работа и энергия

Ответ: P = 7,634 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 3° = 513,4 N

F = 513,4 + 250 = 763,4 N

Мощность

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 763,4·10 = 7634 W = 7,634 kW

Ответ

P = 7,634 kW

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,959 m/s

Силы вдоль плоскости

m·g = 8·9,81 = 78,48 N

mg·sin θ = 33,17 N

μ·mg·cos θ = 17,78 N

Работа и энергия

½mv² = (65 − 50,95)·7 = 98,36 J

v = √(2·98,36/8) = 4,959 m/s

Ответ

v = 4,959 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 14,4 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (4,5 − 3)/(4,5 + 3)·12 = 2,4 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 3)·12 = 14,4 m/s

Ответ

v′₂ = 14,4 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 280,3 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 20°) = 0,0784 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,0784) = 1,24 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,52·1,24/0,02 = 280,3 m/s

Ответ

v = 280,3 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: t = 23,81 s

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·2200/60 = 230,4 rad/s

Замедление и время

α = T_b/I = 150/15,5 = 9,677 rad/s²

t = ω/α = 230,4/9,677 = 23,81 s

Ответ

t = 23,81 s

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: μ_s = 0,07656

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Уравнения движения

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 0,4·m·r²·(a/r) → f = 0,4·m·a

Ускорение

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 15°/1,4 = 1,814 m/s²

Необходимое трение

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 0,4·tan 15°/1,4 = 0,07656

Ответ

μ_s = 0,07656

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_w = 231,8 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 1450·3/60 = 72,5 rpm

Выходной крутящий момент

ω_w = 2π·72,5/60 = 7,592 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·2200/7,592 = 231,8 N·m

Ответ

T_w = 231,8 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: N_D = 50

Частота вращения промежуточного вала

n_B = n_C = 1500·24/25 = 1440 rpm

Число зубьев колеса D

N_D = C·n_C/n_out = 40·1440/1152 = 50

Ответ

N_D = 50

17.Пружины и маятники

Ответ: T = 3,296 s

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период маятника

T = 2π·√(2,7/9,81) = 3,296 s

Ответ

T = 3,296 s

18.Пружины и маятники

Ответ: A = 3,118 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,005·450/4,005 = 0,5618 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1300/4,005) = 18,02 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 0,5618/18,02 = 0,03118 m = 3,118 cm

Ответ

A = 3,118 cm

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 5,683 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(100000/40) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7,958·√(1 − 0,7²) = 5,683 Hz

Ответ

f_d = 5,683 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 10,97 Hz

Эквивалентная жёсткость

Расположенные рядом пружины имеют одинаковую деформацию, а их силы складываются, поэтому жёсткости просто складываются: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 15 = 95 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(95000/20) = 68,92 rad/s

f_n = 68,92/(2π) = 10,97 Hz

Ответ

f_n = 10,97 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics