Динамика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (20) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Вращение твёрдого тела

Моменты инерции относительно G: стержень mL²/12, диск ½mR², кольцо mR², сплошной шар (2/5)mR², полый шар (2/3)mR²
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_G + m·d²
Радиус инерции: I = m·k²
Стержень относительно конца: I = mL²/3
Уравнение движения: ΣM = I·α
Скорость в rad/s: ω = 2π·n/60
Кинетическая энергия: E = ½·I·ω²
Работа и мощность: W = T·θ, P = T·ω
Качение без проскальзывания: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Момент импульса: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Удар по шарнирному телу: m·v·d = I·ω

Метод

Выберите ось: неподвижный шарнир или центр масс для катящихся тел.
Найдите момент инерции относительно этой оси по стандартным результатам, используя I = I_G + m·d² для смещённой оси.
Выберите метод: ΣM = I·α для ускорений и сил, энергия (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) для скоростей, момент импульса для ударов и внезапных изменений.
Свяжите линейное и угловое движение формулами v = ω·r и a = α·r и переведите rpm в rad/s.

Зубчатые колёса и передачи

Зацепление колёс: n₁·N₁ = n₂·N₂
Крутящий момент: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Мощность: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача: общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

Механические колебания

Собственная частота: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
По статическому прогибу: ω_n = √(g/δ_st)
Критическое демпфирование: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Коэффициент демпфирования: ζ = c/c_c
Частота затухающих колебаний: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Логарифмический декремент: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Параллельные пружины: k = k₁ + k₂
Последовательные пружины: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 90 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 6,5 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 90 km/ht_r = 1,5 sa = −6,5 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 2,6 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 2,6 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 6 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 6 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 1,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 3,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 34 m/s под углом 55° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 44 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 34 m/sθ = 55°x = 44 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 15° к горизонту с вершины скалы высотой 25 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 25 m/sθ = 15°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,3 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,3 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 80 m имеет вираж с уклоном 30°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 80 mθ = 30°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Игрушечная пусковая установка имеет вертикальную пружину жёсткостью 500 N/m. На неё кладут мяч массой 0,1 kg, сжимают пружину на 4 cm и отпускают. Пренебрегая сопротивлением воздуха и массой пружины, найдите высоту h, на которую поднимется мяч, отсчитывая от его положения при сжатой пружине.

m = 0,1 kgk = 500 N/mx = 4 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 0,5 kg отпускают без начальной скорости на высоте 17,5 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 5 m. Найдите силу нормальной реакции N, с которой трасса действует на тележку в верхней точке петли.

m = 0,5 kgh = 17,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 3,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 4,5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,5 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 15° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 4,5 kgL = 1,5 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Вращение твёрдого телаСредняя

Маховик с моментом инерции 13,5 kg·m² вращается с частотой 1500 rpm. Тормоз создаёт постоянный момент трения 140 N·m. Сколько оборотов N сделает маховик до остановки?

I = 13,5 kg·m²n = 1500 rpmT_b = 140 N·m

N = rev

14.Вращение твёрдого телаСложная

тонкий обруч начинает движение из состояния покоя и катится без проскальзывания по склону, наклонённому под углом 30° к горизонту. Примите g = 9,81 m/s². Его радиус равен 0,1 m. Найдите его угловую скорость ω после того, как он прокатился 7,5 m вдоль склона.

θ = 30°s = 7,5 mI = m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,1 m

ω = rad/s

15.Зубчатые колёса и передачиСредняя

Двигатель мощностью 0,55 kW с частотой 1450 rpm приводит червяк с числом заходов 2. Червячное колесо имеет 72 зубьев, КПД передачи 70%. Найдите выходной вращающий момент T_w на валу колеса.

z = 2N_w = 72n = 1450 rpmP = 0,55 kWη = 70%

T_w = N·m

16.Зубчатые колёса и передачиСложная

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (24 зуб.) на входном валу вращается с частотой 3000 rpm и приводит колесо B (45 зуб.). Колесо C (45 зуб.) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D (60 зуб.) на выходном валу. Найдите выходную частоту вращения n_out.

n_in = 3000 rpmA = 24B = 45C = 45D = 60

n_out = rpm

17.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 0,9 m имеет период малых колебаний 2 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 0,9 mT = 2 s

g = m/s²

18.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 1,7 kg прикрепляют к нижнему концу нерастянутой вертикальной пружины с k = 260 N/m и отпускают без начальной скорости. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max груза.

m = 1,7 kgk = 260 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Механические колебанияСредняя

Груз массой 200 kg на пружине жёсткостью 100 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,3. Найдите частоту f_d его свободных затухающих колебаний в Hz.

m = 200 kgk = 100 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Механические колебанияСложная

Груз массой 25 kg висит на пружине k₃ = 20 kN/m. Верх k₃ прикреплён к жёсткой балке, подвешенной на двух расположенных рядом пружинах k₁ = 12 kN/m и k₂ = 60 kN/m; балка остаётся горизонтальной. Пренебрегите демпфированием и массами пружин и балки. Найдите собственную частоту f_n вертикальных колебаний в Hz.

m = 25 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 85,58 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Единицы

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 25·1,5 = 37,5 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·6,5) = 48,08 m

Итого

d = 37,5 + 48,08 = 85,58 m

Ответ

d = 85,58 m

2.Кинематика

Ответ: d = 30,9 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(2,6 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 891,8 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·891,8))/(2·4,905) = 2,51 s

Глубина

d = ½·9,81·2,51² = 30,9 m

Ответ

d = 30,9 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,803 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,2·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1532) = 4,803 m/s²

Ответ

a = 4,803 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 6,573 m/s²

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 1,472)/5 = 6,573 m/s²

Ответ

a = 6,573 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 37,87 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Время до стены

v_x = 34·cos 55° = 19,5 m/s

t = x/v_x = 44/19,5 = 2,256 s

Высота в этот момент

y = 27,85·2,256 − ½·9,81·2,256² = 37,87 m

Ответ

y = 37,87 m

У стены мяч ещё поднимается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 3,012 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 15° = 24,15 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 15° = 6,47 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 25 + 6,47·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,47 + √(41,87 + 490,5))/9,81 = 3,012 s

Ответ

t = 3,012 s

7.Движение по окружности

Ответ: n = 31,18 rpm

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·2,3)) = 3,265 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 31,18 rpm

Ответ

n = 31,18 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 23,75 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(80·9,81·0,5866/0,816) = 23,75 m/s

Ответ

v_max = 23,75 m/s

(85,51 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: h = 0,4077 m

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергия пружины

x = 4 cm = 0,04 m

½kx² = ½·500·0,04² = 0,4 J

Высота

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,4/0,981 = 0,4077 m

Ответ

h = 0,4077 m

10.Работа и энергия

Ответ: N = 9,81 N

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(17,5 − 10) = 147,2 m²/s²

Силы в верхней точке

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·147,2/5 − 4,905 = 9,81 N

Ответ

N = 9,81 N

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = 6,667 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (3,5 − 1)/(3,5 + 1)·12 = 6,667 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1)·12 = 18,67 m/s

Ответ

v′₁ = 6,667 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 226,3 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,5·(1 − cos 15°) = 0,05111 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,05111) = 1,001 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 4,52·1,001/0,02 = 226,3 m/s

Ответ

v = 226,3 m/s

13.Вращение твёрдого тела

Ответ: N = 189,3 rev

Вращение вокруг неподвижной оси: сумма моментов относительно оси равна I·α (ΣM = I·α), так же как ΣF = m·a при поступательном движении. В энергетической форме момент T, поворачивающий тело на угол θ (в радианах), совершает работу T·θ, которая изменяет кинетическую энергию ½·I·ω²; сила тяжести добавляет или отнимает m·g·Δh центра масс. Мощность равна P = T·ω.

Угловая скорость

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

Работа тормоза равна кинетической энергии

½·I·ω² = ½·13,5·157,1² = 166550 J

θ = 166550/140 = 1190 rad

Обороты

N = θ/2π = 189,3 rev

Ответ

N = 189,3 rev

14.Вращение твёрдого тела

Ответ: ω = 60,65 rad/s

Качение и момент импульса: тело, катящееся без проскальзывания, имеет v = ω·r, поэтому его кинетическая энергия равна ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). При движении по наклонной плоскости это даёт a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Когда относительно оси не действует внешний момент, момент импульса относительно этой оси сохраняется, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, даже если кинетическая энергия теряется.

Высота спуска

h = s·sin θ = 7,5·sin 30° = 3,75 m

Энергетический баланс при качении

Качение без проскальзывания: ω = v/r, а трение не совершает работы в точке контакта.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 1)

v = √(2·9,81·3,75/2) = 6,065 m/s

ω = v/r = 6,065/0,1 = 60,65 rad/s

Ответ

ω = 60,65 rad/s

15.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: T_w = 91,28 N·m

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Частота вращения колеса

n_w = n·z/N_w = 1450·2/72 = 40,28 rpm

Выходной крутящий момент

ω_w = 2π·40,28/60 = 4,218 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,7·550/4,218 = 91,28 N·m

Ответ

T_w = 91,28 N·m

16.Зубчатые колёса и передачи

Ответ: n_out = 1200 rpm

Первая ступень

n_B = 3000·24/45 = 1600 rpm = n_C

Вторая ступень

n_out = 1600·45/60 = 1200 rpm

Ответ

n_out = 1200 rpm

общее передаточное отношение = 2,5 : 1

17.Пружины и маятники

Ответ: g = 8,883 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,9/2² = 8,883 m/s²

Ответ

g = 8,883 m/s²

18.Пружины и маятники

Ответ: v_max = 0,7932 m/s

Положение равновесия и амплитуда

x₀ = m·g/k = 1,7·9,81/260 = 0,06414 m = A

Наибольшая скорость

Скорость наибольшая в положении равновесия.

ω = √(260/1,7) = 12,37 rad/s

v_max = A·ω = 0,06414·12,37 = 0,7932 m/s

Ответ

v_max = 0,7932 m/s

19.Механические колебания

Ответ: f_d = 3,395 Hz

Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ω_n = √(k/m) в rad/s и f_n = ω_n/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/c_c, где критическое демпфирование c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Собственная частота без демпфирования

ω_n = √(100000/200) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Частота затухающих колебаний

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,3²) = 3,395 Hz

Ответ

f_d = 3,395 Hz

20.Механические колебания

Ответ: f_n = 3,982 Hz

Эквивалентная жёсткость

Параллельно соединены только k₁ и k₂. Эта пара соединена последовательно с k₃, поэтому складывайте обратные величины.

k₁₂ = 12 + 60 = 72 kN/m

k_eq = 72·20/(72 + 20) = 15,65 kN/m

Собственная частота

ω_n = √(15652/25) = 25,02 rad/s

f_n = 25,02/(2π) = 3,982 Hz

Ответ

f_n = 3,982 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics