Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I2 в ветви 2, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 1 ms.
Vs = 15 VR = 68 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 13,5 V, ровно через 250 ms после старта. При R = 1 kΩ найдите необходимую ёмкость C.
Vs = 15 VVth = 13,5 VT = 250 msR = 1 kΩ
C = µF
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 24 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.
V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 47 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 240 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 24 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагреватель мощностью 19 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 30 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите реактивную мощность QC, которую должен поставлять конденсатор.
P = 30 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 40 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,7 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 690 VIL = 40 Acos φ = 0,7
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 75 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,92 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 75 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,92VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 20:1 приложено 4800 V. К вторичной обмотке подключён резистор 5 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 20:1V1 = 4800 VRL = 5 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 450 W и потери в меди 1350 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 3 + 12 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 4·15/(4+15) = 3,158 Ω
Req = R1 + 3,158 = 20 + 3,158 = 23,16 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 15/23,16 = 0,6477 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0,6477·20 = 2,045 V
IR2 = VA/R2 = 2,045/4 = 0,5114 A
Ответ
IR2 = 0,5114 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,6153 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 25 + 3 = 28 Ω
R4 ∥ 28 = 1,867 Ω
R3 + 1,867 = 7,867 Ω
R2 ∥ 7,867 = 4,752 Ω
Req = R1 + 4,752 = 5 + 4,752 = 9,752 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/9,752 = 0,6153 A
Ответ
IR1 = 0,6153 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I2 = 1,3 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − (−6))/12 + (VA − 15)/6 + (VA − 6)/6 = 0
Находим VA
VA = ((−6)/12 + 15/6 + 6/6) / (1/12 + 1/6 + 1/6) = 3/0,4167 = 7,2 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I2 = (15 − VA)/R2 = (15 − 7,2)/6 = 1,3 A
Ответ
I2 = 1,3 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR1 = 0,4303 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 24 V, V2 = 24 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 24)/2 + (VA − VB)/6 = 0
0,7067·VA − 0,1667·VB = 12
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,308 + 3 = 5,308 Ω
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = −0,4091 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 5 = 6,667 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 4 + (−1,5)·1,667 = 1,5 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 1,5 + (−1,5)·5 = −6 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = −6/(6,667 + 8) = −0,4091 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 0,01671 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 10 mH / 68 Ω = 0,1471 ms
i(∞) = Vs/R = 15/68 = 0,2206 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/0,1471 = 0,01671 V
Ответ
vL = 0,01671 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: C = 108,6 µF
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 24/20 = 1,2 A
IX = V/XC = 24/79,58 = 0,3016 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(1,2² + 0,3016²) = 1,237 A
Полное сопротивление
|Z| = V/I = 24/1,237 = 19,4 Ω
Ответ
|Z| = 19,4 Ω
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 8,982 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s
XL = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 100/11,13 = 8,982 A
Ответ
I = 8,982 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: cos φ = 0,869
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 24·tan(arccos 0,7) = 24,48 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Суммы
P = 24 + 19 = 43 kW
Q = 24,48 + 0 = 24,48 kvar
S = √(43² + 24,48²) = 49,48 kVA
Общий коэффициент мощности
cos φ = P/S = 43/49,48 = 0,869 отстающий
Ответ
cos φ = 0,869
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: QC = 28,98 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(49,46°) = 35,07 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(11,48°) = 6,092 kvar
QC = Q1 − Q2 = 28,98 kvar
Ответ
QC = 28,98 kvar
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 33,46 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·690·40 = 47,8 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 47,8·0,7 = 33,46 kW
Ответ
P = 33,46 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 156 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0,78) = 75·0,8023 = 60,17 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0,92) = 75·0,426 = 31,95 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 28,22 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 9407/(377·400²) = 156 µF
Ответ
Cph = 156 µF
15.Трансформаторы
Ответ: I1 = 2,4 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 4800/20 = 240 V
I2 = 240/5 = 48 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/20 = 2,4 A
Ответ
I1 = 2,4 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 2000 Ω, и 4800/2000 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Ploss = 1209 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.