Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,25·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VA (относительно земли).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 95% конечного значения? Найдите t.
Vs = 9 VR = 68 ΩL = 22 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 6 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 5,6 V? Найдите t.
Vs = 5 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 6 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 100 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 47 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур питается от источника 10 V (действующее значение), частота которого равна резонансной частоте контура. Найдите действующее напряжение VL на катушке.
V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF
VL = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 15 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите ток линии I.
P = 15 kWpf = 0,75V = 400 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите новый ток линии Inew.
P = 35 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,95V = 400 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 45 kW. При этой нагрузке его КПД равен 92%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 45 kWη = 92%cos φ = 0,84VL = 690 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,7 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 200 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,9VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 150 kVA, 11000/400 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.
S = 150 kVAV1 = 11000 VV2 = 400 V
IHV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 125 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,95 (отстающий) его КПД равен 97%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 25 kVAPcore = 125 Wpf = 0,95η = 97%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,111 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 5 + 10 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω
Req = R1 + 3,75 = 3 + 3,75 = 6,75 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/6,75 = 1,481 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 1,481·3 = 5,556 V
IR2 = VA/R2 = 5,556/5 = 1,111 A
Ответ
IR2 = 1,111 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 2,582 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 30 + 12 = 42 Ω
R4 ∥ 42 = 4,468 Ω
R3 + 4,468 = 16,47 Ω
R2 ∥ 16,47 = 5,384 Ω
Req = R1 + 5,384 = 4 + 5,384 = 9,384 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 36/9,384 = 3,836 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 3,836·4 = 20,66 V
IR2 = VA/R2 = 20,66/8 = 2,582 A
Ответ
IR2 = 2,582 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: PIs = 24,88 W
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 9)/15 + (VA − VB)/20 = 0
0,45·VA − 0,05·VB = 0,6
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/20 + (VB − VA)/20 = 1,5
−0,05·VA + 0,1·VB = 1,5
Решите
Δ = (0,45)(0,1) − (−0,05)(−0,05) = 0,0425
VA = Δ1/Δ = 0,135/0,0425 = 3,176 V
VB = Δ2/Δ = 0,705/0,0425 = 16,59 V
Мощность, отдаваемая источником тока
Источник направляет ток Iₛ вверх в узел B, от земли (0 V) к VB. Источник, ток которого выходит из его вывода +, отдаёт мощность P = V·I.
PIs = VB·Is = 16,59·1,5 = 24,88 W
Ответ
PIs = 24,88 W
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VA = 14,94 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,35·VA − 0,1667·VB = 2,4
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,25·VA
−0,4167·VA + 0,3667·VB = 0
Решите
Δ = (0,35)(0,3667) − (−0,1667)(−0,4167) = 0,05889
VA = Δ1/Δ = 0,88/0,05889 = 14,94 V
VB = Δ2/Δ = 1/0,05889 = 16,98 V
Ответ
VA = 14,94 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 1,596 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 4 = 5,875 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·5/(3+5) = 9,375 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 9,375/5,875 = 1,596 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 3,689 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 20·30/(20+30) = 12 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 12 + 12 = 24 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,6 + 4·12 = 51,6 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 51,6 + 4·12 = 99,6 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 99,6/(24 + 3) = 3,689 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 0,9692 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms
i(∞) = Vs/R = 9/68 = 0,1324 A
Выразите время
0,95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)
t = −0,3235·ln(0,05) = 0,9692 ms
Ответ
t = 0,9692 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 5,108 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
t = τ·ln((6 − 5)/(5,6 − 5)) = 10·ln(1,667) = 5,108 ms
Ответ
t = 5,108 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: φ = 71,9 °
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонанс
При резонансе реактивные сопротивления компенсируются, поэтому полное сопротивление равно просто R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·2,2·10⁻⁶) = 2132 rad/s
I = V/R = 10/15 = 0,6667 A
Напряжение на катушке
XL = ω₀L = 2132·0,1 = 213,2 Ω
VL = I·XL = 0,6667·213,2 = 142,1 V
Ответ
VL = 142,1 V
Это в Q = 14,21 раз больше напряжения источника.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 50 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток линии
Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.
I = P/(V·cos φ) = 15000/(400·0,75) = 50 A
Ответ
I = 50 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 92,11 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(53,13°) = 46,67 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(18,19°) = 11,5 kvar
QC = Q1 − Q2 = 35,16 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 35000/(400·0,95) = 92,11 A
Ответ
Inew = 92,11 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 48,72 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 45/0,92 = 48,91 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 48913/(√3·690·0,84) = 48,72 A
Ответ
IL = 48,72 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 1234 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 107,2 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
IHV = S/V = 150000/11000 = 13,64 A
Ответ
IHV = 13,64 A
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 609,5 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.