Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 15 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 Ω
Vth = V
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 10 VIs = 5 AR1 = 3 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
Через катушку течёт установившийся ток 2 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. За какое время ток уменьшится до 0,5 A? Найдите t.
i(0) = 2 AR = 47 ΩL = 100 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 120 ms.
Vs = 12 VR = 4,7 kΩC = 22 µFvC(0) = 5 Vt = 120 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательный RLC-контур с C = 47 µF должен резонировать на частоте 100 Hz. Найдите необходимую индуктивность L.
f0 = 100 HzC = 47 µF
L = mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.
V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
VC = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 27 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) и нагрузка 29 kW при коэффициенте мощности 0,8 (ёмкостном). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите новый ток линии Inew.
P = 35 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 75 kW. При этой нагрузке его КПД равен 93%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 75 kWη = 93%cos φ = 0,82VL = 415 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 100 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 4:1 приложено 960 V. К вторичной обмотке подключён резистор 15 Ω. Найдите первичный ток I1.
N1:N2 = 4:1V1 = 960 VRL = 15 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 150 kVA имеет потери в стали 1200 W и потери в меди 4800 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 150 kVAPcore = 1200 WPcu,fl = 4800 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,059 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 10·9/(10+9) = 4,737 Ω
Req = R1 + 4,737 = 6 + 4,737 = 10,74 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 24/10,74 = 2,235 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 2,235·6 = 10,59 V
IR2 = VA/R2 = 10,59/10 = 1,059 A
Ответ
IR2 = 1,059 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,763 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 2 + 4 = 6 Ω
R4 ∥ 6 = 2,4 Ω
R3 + 2,4 = 17,4 Ω
R2 ∥ 17,4 = 11,01 Ω
Req = R1 + 11,01 = 6 + 11,01 = 17,01 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/17,01 = 1,763 A
Ответ
IR1 = 1,763 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR1 = 0,2652 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 12 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/10 + (VA − 12)/4 + (VA − VB)/3 = 0
0,6833·VA − 0,3333·VB = 3
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 10 V, V2 = 6 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/20 + (VA − 10)/6 + (VA − VB)/10 = 0
0,3167·VA − 0,1·VB = 1,667
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/15 + (VB − VA)/10 + (VB − 6)/20 = (−2,5)
−0,1·VA + 0,2167·VB = −2,2
Решите
Δ = (0,3167)(0,2167) − (−0,1)(−0,1) = 0,05861
VA = Δ1/Δ = 0,1411/0,05861 = 2,408 V
VB = Δ2/Δ = −0,53/0,05861 = −9,043 V
Ответ
IR4 = (VB − V2)/R4 = (−9,043 − 6)/20 = −0,7521 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 5 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·2/(4+2) = 1,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,333 + 2 = 3,333 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·2/(4+2) = 5 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 6,404 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 3·8/(3+8) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 3 = 5,182 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,273 + 5·2,182 = 18,18 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 18,18 + 5·3 = 33,18 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 33,18/5,182 = 6,404 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 2,95 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени
τ = L/R = 100 mH / 47 Ω = 2,128 ms
Выразите время
0,5 = 2·e−t/τ → t = τ·ln(2/0,5)
t = 2,128·ln(4) = 2,95 ms
Ответ
t = 2,95 ms
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 9,807 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное значение, конечное значение, постоянная времени
Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms
vC(t) = 12 + (5 − 12)·e−t/τ
Напряжение в заданный момент
vC(120) = 12 + (−7)·e−120/103,4 = 9,807 V
Ответ
vC = 9,807 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: L = 53,89 mH
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Условие резонанса
При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·47·10⁻⁶) = 53,89 mH
Ответ
L = 53,89 mH
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VC = 1,189 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 10/569,4 = 0,01756 A
Напряжение на конденсаторе
VC = I·XC = 0,01756·67,73 = 1,189 V
Ответ
VC = 1,189 V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 144,5 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность каждой нагрузки
Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).
Q1 = 27·tan(arccos 0,6) = 36 kvar
Q2 = −29·tan(arccos 0,8) = −21,75 kvar
Суммы
P = 27 + 29 = 56 kW
Q = 36 + (−21,75) = 14,25 kvar
S = √(56² + 14,25²) = 57,78 kVA
Общий ток
I = S/V = 57785/400 = 144,5 A
Ответ
I = 144,5 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 148,8 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(41,41°) = 30,87 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(11,48°) = 7,107 kvar
QC = Q1 − Q2 = 23,76 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 35000/(240·0,98) = 148,8 A
Ответ
Inew = 148,8 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 136,8 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 75/0,93 = 80,65 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 80645/(√3·415·0,82) = 136,8 A
Ответ
IL = 136,8 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 491 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,9) = 100·0,4843 = 48,43 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 26,57 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Вторичные напряжение и ток
V2 = 960/4 = 240 V
I2 = 240/15 = 16 A
Первичный ток
Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/4 = 4 A
Ответ
I1 = 4 A
Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 240 Ω, и 960/240 даёт тот же ток.
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 75 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.