Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩIR2​AR4​10 ΩB

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 24 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
IR2 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 25 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩIR2​AR4​5 ΩBR6​25 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 36 VR1 = 25 ΩR2 = 15 ΩR3 = 25 ΩR4 = 5 ΩR5 = 5 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​5 ΩBIs​1 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VB (относительно земли).

V1 = 18 VIs = 1 AR1 = 4 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 5 Ω
VB = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 4 ΩR2​ = 2 ΩIR2​R4​ = 12 Ω+−V1​5 VR3​3 ΩAR5​20 ΩBIs​2 A+−V2​9 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 5 VIs = 2 AV2 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 12 ΩR5 = 20 Ω
IR2 = A
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 3 ΩR3 = 15 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAIs​2 ABRL​6 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 6 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 9 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 30 ΩRL = 6 Ω
IL = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​9 Vt = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 4,7 kΩC10 µF+−vC​

Источник Vₛ заряжает конденсатор через R₁, а R₂ подключён параллельно C. Конденсатор разряжен, когда ключ замыкается в момент t = 0. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 15 ms.

Vs = 9 VR1 = 6,8 kΩR2 = 4,7 kΩC = 10 µFt = 15 ms
vC = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​20 Vt = 0R = 6,8 kΩC33 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 4 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 15,2 V? Найдите t.

Vs = 20 VR = 6,8 kΩC = 33 µFvC(0) = 4 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
120 V60 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 47 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 47 µF
cos φ =
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
VfR = 50 ΩL = 20 mHC = 0,1 µF

Последовательный RLC-контур имеет R = 50 Ω, L = 20 mH и C = 0,1 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.

R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,1 µF
Q =
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
230 VZ12 + j5 ΩI

Нагрузка с полным сопротивлением Z = 12 + j5 Ω подключена к однофазной сети 230 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.

V = 230 VZ = 12 + j5 Ω
S = VA
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
50 V50 HzRs​ = 20 ΩXs​ = j30 ΩZL​ = ?

Источник 50 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 20 + j30 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность Pmax, которую можно передать нагрузке.

Vs = 50 V (rms)f = 50 HzZs = 20 + j30 Ω
Pmax = W
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 690 VIL​ = ?M45 kW, η = 91%cos φ = 0,82

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 45 kW. При этой нагрузке его КПД равен 91%, а коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Линейное напряжение сети 690 V. Найдите линейный ток IL.

Pout = 45 kWη = 91%cos φ = 0,82VL = 690 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 120 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 120 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 120 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
RL​ = 20 Ω2014600 VV2​I1​ = ?I2​

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 20:1 приложено 4600 V. К вторичной обмотке подключён резистор 20 Ω. Найдите первичный ток I1.

N1:N2 = 20:1V1 = 4600 VRL = 20 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
200 kVA

Однофазный трансформатор 200 kVA имеет потери в стали 800 W и потери в меди 1200 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 200 kVAPcore = 800 WPcu,fl = 1200 W
Sη,max = kVA

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 1,481 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 20 + 10 = 30 Ω
R2 ∥ 30 = 3·30/(3+30) = 2,727 Ω
Req = R1 + 2,727 = 12 + 2,727 = 14,73 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/14,73 = 1,63 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 1,63·12 = 4,444 V
IR2 = VA/R2 = 4,444/3 = 1,481 A

Ответ

IR2 = 1,481 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,6818 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 25 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​36 VR2​15 ΩAR4​5 ΩBR6​25 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 5 + 25 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 4,286 Ω
R3 + 4,286 = 29,29 Ω
R2 ∥ 29,29 = 9,919 Ω
Req = R1 + 9,919 = 25 + 9,919 = 34,92 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 36/34,92 = 1,031 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1,031·25 = 10,23 V
IR2 = VA/R2 = 10,23/15 = 0,6818 A

Ответ

IR2 = 0,6818 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: VB = 6,125 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 4 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​18 VR2​5 ΩAR4​5 ΩBIs​1 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 18 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 18)/4 + (VA − VB)/15 = 0
0,5167·VA − 0,06667·VB = 4,5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/5 + (VB − VA)/15 = 1
−0,06667·VA + 0,2667·VB = 1

Решите

Δ = (0,5167)(0,2667) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,1333
VA = Δ1/Δ = 1,267/0,1333 = 9,5 V
VB = Δ2/Δ = 0,8167/0,1333 = 6,125 V

Ответ

VB = 6,125 V
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR2 = 1,027 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 4 ΩR2​ = 2 ΩR4​ = 12 Ω+−V1​5 VR3​3 ΩAR5​20 ΩBIs​2 A+−V2​9 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 5 V, V2 = 9 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/3 + (VA − 5)/4 + (VA − VB)/2 = 0
1,083·VA − 0,5·VB = 1,25

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/20 + (VB − VA)/2 + (VB − 9)/12 = (−2)
−0,5·VA + 0,6333·VB = −1,25

Решите

Δ = (1,083)(0,6333) − (−0,5)(−0,5) = 0,4361
VA = Δ1/Δ = 0,1667/0,4361 = 0,3822 V
VB = Δ2/Δ = −0,7292/0,4361 = −1,672 V

Ответ

IR2 = (VA − VB)/R2 = (0,3822 − −1,672)/2 = 1,027 A
5.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 0,09524 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 15 ΩКЗR2​3 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 8·3/(8+3) = 2,182 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,182 + 15 = 17,18 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·3/(8+3) = 1,636 V
IN​0,09524 ARth​17,18 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 1,636/17,18 = 0,09524 A
6.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 1,785 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 30 ΩКЗR2​8 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 30 = 35,22 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR2​8 ΩAIs​2 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,13 + 2·5,217 = 13,57 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13,57 + 2·30 = 73,57 V
Rth​ = 35,22 Ω+−Vth​73,57 VRL​6 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 73,57/(35,22 + 6) = 1,785 A
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 1,534 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Эквивалентная схема Тевенина со стороны конденсатора

Закоротите источник, чтобы найти Rth; отключите конденсатор, чтобы найти напряжение, до которого он зарядится.

Rth = R1 ∥ R2 = 6,8·4,7/(6,8 + 4,7) = 2,779 kΩ
vC(∞) = 9·4,7/(6,8 + 4,7) = 3,678 V

Постоянная времени

τ = Rth·C = 2,779·10 = 27,79 ms

Кривая заряда

vC(t) = 3,678·(1 − e−15/27,79) = 1,534 V

Ответ

vC = 1,534 V
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 270,2 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 20 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms
vC(t) = 20 + (4 − 20)·e−t/τ

Выразите время

15,2 = 20 + (−16)·e−t/τ → e−t/τ = (15,2 − 20)/(4 − 20) = 0,3
t = τ·ln((4 − 20)/(15,2 − 20)) = 224,4·ln(3,333) = 270,2 ms

Ответ

t = 270,2 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,9361

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 18,85 Ω, XC = 56,44 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(100² + (−37,59)²) = 106,8 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 100/106,8 = 0,9361
Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,9361
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: Q = 8,944

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонансная частота

f0 = 1/(2π·√(0,02·0,1·10⁻⁶)) = 3559 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,02/(0,1·10⁻⁶)) = 8,944

Ответ

Q = 8,944
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: S = 4069 VA

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 230/13 = 17,69 A

Полная мощность

S = V·I = 230·17,69 = 4069 VA

Ответ

S = 4069 VA
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Pmax = 31,25 W

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

ZL = Zs* = 20 − j30 Ω

Наибольшая мощность

I = Vs/(2Rs) = 50/40 = 1,25 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·20) = 31,25 W

Ответ

Pmax = 31,25 W
13.Трёхфазная мощность

Ответ: IL = 50,46 A

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Потребляемая электрическая мощность

Pin = Pout/η = 45/0,91 = 49,45 kW

Ток линии

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 49451/(√3·690·0,82) = 50,46 A

Ответ

IL = 50,46 A
14.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 292,5 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 120·tan(acos 0,72) = 120·0,9639 = 115,7 kvar
Q2 = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 76,22 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 25407/(377·480²) = 292,5 µF

Ответ

Cph = 292,5 µF
15.Трансформаторы

Ответ: I1 = 0,575 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V2 = 4600/20 = 230 V
I2 = 230/20 = 11,5 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/20 = 0,575 A

Ответ

I1 = 0,575 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 8000 Ω, и 4600/8000 даёт тот же ток.

16.Трансформаторы

Ответ: Sη,max = 163,3 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·1200 = 800 → x = √(800/1200) = 0,8165

Нагрузка при максимальном КПД

Sη,max = x·S = 0,8165·200 = 163,3 kVA

Ответ

Sη,max = 163,3 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals