Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
Is = 3 AVs = 10 VR1 = 3 ΩR2 = 12 Ω
VB = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
Источник тока регулируют до тех пор, пока напряжение узла A не станет VA = 32,5 V. Методом узловых потенциалов найдите ток источника Is (направление как на схеме).
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.
Vs = 5 VR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms
W = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 12 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 10,8 V, ровно через 50 ms после старта. При R = 2,2 kΩ найдите необходимую ёмкость C.
Vs = 12 VVth = 10,8 VT = 50 msR = 2,2 kΩ
C = µF
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 12 V (действующее значение), 200 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩC = 22 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 5 mH и C = 0,1 µF. Найдите его добротность Q при резонансе.
R = 5 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF
Q =
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Нагрузка с полным сопротивлением Z = 7 + j24 Ω подключена к однофазной сети 240 V (действующее значение). Найдите полную мощность S.
V = 240 VZ = 7 + j24 Ω
S = VA
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Источник 100 V (действующее значение), 1000 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 5 + j5 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Найдите наибольшую активную мощность Pmax, которую можно передать нагрузке.
Vs = 100 V (rms)f = 1000 HzZs = 5 + j5 Ω
Pmax = W
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая треугольником, с полным сопротивлением 24 + j7 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 208 VZ = 24 + j7 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,75 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,95 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 100 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
К вторичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 2:1 подключён резистор 5 Ω. Найдите сопротивление R1′ со стороны первичной обмотки.
N1:N2 = 2:1RL = 5 Ω
R1′ = Ω
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 200 W и потери в меди 600 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?
S = 50 kVAPcore = 200 WPcu,fl = 600 W
Sη,max = kVA
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 0,7683 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 8 + 8 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 5·16/(5+16) = 3,81 Ω
Req = R1 + 3,81 = 4 + 3,81 = 7,81 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 6/7,81 = 0,7683 A
Ответ
IR1 = 0,7683 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,593 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 12 + 5 = 17 Ω
R4 ∥ 17 = 7,969 Ω
R3 + 7,969 = 13,97 Ω
R2 ∥ 13,97 = 3,11 Ω
Req = R1 + 3,11 = 10 + 3,11 = 13,11 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 10/13,11 = 0,7628 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 10 − 0,7628·10 = 2,372 V
IR2 = VA/R2 = 2,372/4 = 0,593 A
Ответ
IR2 = 0,593 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 15,2 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 10
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/3 + (VA + 10)/12 = 3
VA = (3 − 10/12)/(1/3 + 1/12) = 5,2 V
VB = 5,2 + 10 = 15,2 V
Ответ
VB = 15,2 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: Is = 9,137 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
VA известно, поэтому это уравнение даёт VB.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
(32,5 − 36)/20 + 32,5/20 = (VB − 32,5)/20
1,45 = (VB − 32,5)/20 → VB = 61,5 V
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники направляют в B.
Is = (VB − VA)/R3 + VB/R4 = (61,5 − 32,5)/20 + 61,5/8 = 9,137 A
Ответ
Is = 9,137 A
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 1,2 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 8·2/(8+2) = 1,6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,6 + 10 = 11,6 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·2/(8+2) = 1,2 V
6.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 20,68 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·30/(2+30) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 30 = 31,88 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 14,06 + (−3)·1,875 = 8,438 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8,438 + (−3)·30 = −81,56 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = −81,56/(31,88 + 4) = −2,274 A
PL = IL²·RL = −2,274²·4 = 20,68 W
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W = 0,9913 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2,136 ms
i(∞) = Vs/R = 5/22 = 0,2273 A
Ток в заданный момент
i(t) = 0,2273·(1 − e−5/2,136) = 0,2054 A
Запасённая энергия
W = ½·L·i² = ½·47·0,2054² = 0,9913 mJ
Ответ
W = 0,9913 mJ
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: C = 9,87 µF
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 12/20 = 0,6 A
IX = V/XC = 12/36,17 = 0,3318 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(0,6² + 0,3318²) = 0,6856 A
Угол сдвига фаз
Ток конденсатора опережает V, поэтому общий ток опережает и угол отрицателен.
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Резонансная частота
f0 = 1/(2π·√(0,005·0,1·10⁻⁶)) = 7118 Hz
Добротность
Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: S = 2304 VA
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток
|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω
I = V/|Z| = 240/25 = 9,6 A
Полная мощность
S = V·I = 240·9,6 = 2304 VA
Ответ
S = 2304 VA
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Pmax = 500 W
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопряжённое согласование
Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.
ZL = Zs* = 5 − j5 Ω
Наибольшая мощность
I = Vs/(2Rs) = 100/10 = 10 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 100²/(4·5) = 500 W
Ответ
Pmax = 500 W
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 4,984 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = VL = 208 V
Фазный ток
|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω
Iph = 208/25 = 8,32 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·8,32²·24 = 4,984 kW
Ответ
P = 4,984 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,96, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 55,32 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 100·tan(acos 0,75) = 100·0,8819 = 88,19 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 55,32 kvar
Ответ
QC = 55,32 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: R1′ = 20 Ω
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Приведённое сопротивление
Напряжение растёт в a раз, а ток уменьшается в a раз, поэтому отношение V/I растёт в a² раз.
R1′ = a²·RL = 2²·5 = 20 Ω
Ответ
R1′ = 20 Ω
16.Трансформаторы
Ответ: Sη,max = 28,87 kVA
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.