Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​15 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 6 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​5 ΩBR6​6 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 ΩR5 = 5 ΩR6 = 6 Ω
Req = Ω
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​5 Ω+−V1​24 VR2​8 Ω+−V2​15 VR3​20 Ω+−V3​15 VI3​A

Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I3 в ветви 3, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.

V1 = 24 VR1 = 5 ΩV2 = 15 VR2 = 8 ΩV3 = 15 VR3 = 20 Ω
I3 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 2 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​5 VR3​4 ΩAR5​10 ΩBIs​4 A−+V2​36 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VB (относительно земли).

V1 = 5 VIs = 4 AV2 = 36 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 4 ΩR4 = 20 ΩR5 = 10 Ω
VB = V
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩARL​6 ΩIL​B

К a–b подключена нагрузка RL = 6 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 15 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 ΩRL = 6 Ω
IL = A
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAIs​5 ABRL​12 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 12 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.

V1 = 12 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 20 ΩR3 = 8 ΩRL = 12 Ω
PL = W
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​12 Vt = 0R = 15 ΩL22 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 1 ms, в mJ.

Vs = 12 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms
W = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​12 Vt = 0R = 2,2 kΩC47 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 9,9 V? Найдите t.

Vs = 12 VR = 2,2 kΩC = 47 µFvC(0) = 5 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
120 V60 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите угол сдвига фаз φ полного сопротивления в градусах (положительный, когда ток отстаёт от напряжения).

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF
φ = °
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
50 V50 HzR1​ = 40 ΩR2​ = 100 ΩC = 100 µFI

Резистор R1 включён последовательно с параллельным соединением R2 и конденсатора C в сеть 50 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR1 = 40 ΩR2 = 100 ΩC = 100 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
400 V19 kW, 0,724 kW, 1I = ?

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 9 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) и нагреватель мощностью 4 kW (коэффициент мощности 1). Найдите общий ток I, потребляемый от сети.

V = 400 VP1 = 9 kW, pf1 = 0,7 отстающийP2 = 4 kW, pf2 = 1
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
24 V50 HzRs​ = 10 ΩXs​ = j15 ΩZL​ = ?

Источник 24 V (действующее значение), 50 Hz имеет внутреннее сопротивление Zs = 10 + j15 Ω. Полное сопротивление нагрузки ZL можно выбирать произвольно. Нагрузка для максимальной мощности составлена из резистора, соединённого последовательно с конденсатором. Найдите ёмкость C.

Vs = 24 V (rms)f = 50 HzZs = 10 + j15 Ω
C = µF
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 400 VIL​ = 100 Acos φ = 0,82отстающий

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 100 A от сети с линейным напряжением 400 V. Коэффициент мощности 0,82 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 400 VIL = 100 Acos φ = 0,82
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 150 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 150 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
50 ΩN1​N2​800 Ω

Усилитель с выходным сопротивлением 800 Ω питает громкоговоритель 50 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 800 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

Rs = 800 ΩRL = 50 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
100 kVA

Однофазный трансформатор 100 kVA имеет потери в стали 800 W и потери в меди 1200 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 100 kVAPcore = 800 WPcu,fl = 1200 W
Sη,max = kVA

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 5,506 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 2 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAR4​15 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 10 + 15 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 4·25/(4+25) = 3,448 Ω
Req = R1 + 3,448 = 2 + 3,448 = 5,448 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/5,448 = 5,506 A

Ответ

IR1 = 5,506 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 10,87 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 6 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​10 VR2​20 ΩAR4​5 ΩBR6​6 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 5 + 6 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 3,438 Ω
R3 + 3,438 = 6,438 Ω
R2 ∥ 6,438 = 4,87 Ω
Req = R1 + 4,87 = 6 + 4,87 = 10,87 Ω

Ответ

Req = 10,87 Ω
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: I3 = −0,24 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.

(VA − 24)/5 + (VA − 15)/8 + (VA − 15)/20 = 0

Находим VA

VA = (24/5 + 15/8 + 15/20) / (1/5 + 1/8 + 1/20) = 7,425/0,375 = 19,8 V

Ток ветви

Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.

I3 = (15 − VA)/R3 = (15 − 19,8)/20 = −0,24 A

Ответ

I3 = −0,24 A

Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.

4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VB = 10,89 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 2 ΩR2​ = 12 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​5 VR3​4 ΩAR5​10 ΩBIs​4 A−+V2​36 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 5 V, V2 = −36 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 5)/2 + (VA − VB)/12 = 0
0,8333·VA − 0,08333·VB = 2,5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/10 + (VB − VA)/12 + (VB − (−36))/20 = 4
−0,08333·VA + 0,2333·VB = 2,2

Решите

Δ = (0,8333)(0,2333) − (−0,08333)(−0,08333) = 0,1875
VA = Δ1/Δ = 0,7667/0,1875 = 4,089 V
VB = Δ2/Δ = 2,042/0,1875 = 10,89 V

Ответ

VB = 10,89 V
5.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 0,4717 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 12 ΩКЗR2​5 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 3·5/(3+5) = 1,875 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,875 + 12 = 13,88 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 12 Ω+−V1​15 VR2​5 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 15·5/(3+5) = 9,375 V
Rth​ = 13,88 Ω+−Vth​9,375 VRL​6 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 9,375/(13,88 + 6) = 0,4717 A
6.Тевенин и Нортон

Ответ: PL = 114,6 W

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​20 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 7,5 + 8 = 15,5 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​20 ΩAIs​5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 5·7,5 = 45 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 45 + 5·8 = 85 V
Rth​ = 15,5 Ω+−Vth​85 VRL​12 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 85/(15,5 + 12) = 3,091 A
PL = IL²·RL = 3,091²·12 = 114,6 W
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W = 1,72 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms
i(∞) = Vs/R = 12/15 = 0,8 A

Ток в заданный момент

i(t) = 0,8·(1 − e−1/1,467) = 0,3954 A

Запасённая энергия

W = ½·L·i² = ½·22·0,3954² = 1,72 mJ

Ответ

W = 1,72 mJ
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 124,5 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 47 µF = 103,4 ms
vC(t) = 12 + (5 − 12)·e−t/τ

Выразите время

9,9 = 12 + (−7)·e−t/τ → e−t/τ = (9,9 − 12)/(5 − 12) = 0,3
t = τ·ln((5 − 12)/(9,9 − 12)) = 103,4·ln(3,333) = 124,5 ms

Ответ

t = 124,5 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: φ = −86,92 °

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,02 = 7,54 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−556,8)²) = 557,6 Ω

Угол сдвига фаз

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−556,8/30) = −86,92°

Ответ

φ = −86,92°
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,8763 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивное сопротивление

XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Параллельное соединение

Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Zp на действительную и мнимую части.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 9,2 − j28,9 Ω

Полное сопротивление цепи

Z = 40 + 9,2 − j28,9 = 49,2 − j28,9 Ω
|Z| = √(49,2² + 28,9²) = 57,06 Ω

Ток

I = V/|Z| = 50/57,06 = 0,8763 A

Ответ

I = 0,8763 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 39,79 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q1 = 9·tan(arccos 0,7) = 9,182 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar

Суммы

P = 9 + 4 = 13 kW
Q = 9,182 + 0 = 9,182 kvar
S = √(13² + 9,182²) = 15,92 kVA

Общий ток

I = S/V = 15916/400 = 39,79 A

Ответ

I = 39,79 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 212,2 µF

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопряжённое согласование

Реактивное сопротивление нагрузки компенсирует реактивное сопротивление источника, а активное сопротивление нагрузки равно активному сопротивлению источника.

ZL = Zs* = 10 − j15 Ω

Ёмкость

XC = 15 Ω → C = 1/(2π·50·15) = 212,2 µF

Ответ

C = 212,2 µF
13.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 56,81 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Полная мощность

S = √3·VL·IL = √3·400·100 = 69,28 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 69,28·0,82 = 56,81 kW

Ответ

P = 56,81 kW
14.Трёхфазная мощность

Ответ: QC = 114,1 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0,72) = 150·0,9639 = 144,6 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,98) = 150·0,2031 = 30,46 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 114,1 kvar

Ответ

QC = 114,1 kvar
15.Трансформаторы

Ответ: a = 4

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·50 = 800
a = √(800/50) = √16 = 4

Ответ

a = 4
16.Трансформаторы

Ответ: Sη,max = 81,65 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·1200 = 800 → x = √(800/1200) = 0,8165

Нагрузка при максимальном КПД

Sη,max = x·S = 0,8165·100 = 81,65 kVA

Ответ

Sη,max = 81,65 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals