До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.
Vs = 6 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 5 ms
W = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 5 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 3 V, ровно через 250 ms после старта. При C = 10 µF найдите необходимое сопротивление R.
Vs = 5 VVth = 3 VT = 250 msC = 10 µF
R = kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩC = 10 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 19 kW при коэффициенте мощности 0,9 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите ток линии I.
P = 19 kWpf = 0,9V = 400 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 10 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,98. Найдите необходимую ёмкость C.
P = 10 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,98V = 400 Vf = 60 Hz
C = µF
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 22 kW. При этой нагрузке его КПД равен 95%, а коэффициент мощности 0,9 (отстающий). Линейное напряжение сети 480 V. Найдите линейный ток IL.
Pout = 22 kWη = 95%cos φ = 0,9VL = 480 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 300 kW при коэффициенте мощности 0,72 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.
P = 300 kWpf1 = 0,72pf2 = 0,98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 150 kVA, 4800/240 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток ILV в обмотке низшего напряжения.
S = 150 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
ILV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 250 kVA имеет потери в стали 750 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 97%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 250 kVAPcore = 750 Wpf = 0,85η = 97%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 16,24 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 6 + 15 = 21 Ω
R2 ∥ 21 = 20·21/(20+21) = 10,24 Ω
Req = R1 + 10,24 = 6 + 10,24 = 16,24 Ω
Ответ
Req = 16,24 Ω
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 23,98 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 4 + 8 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 2,4 Ω
R3 + 2,4 = 22,4 Ω
R2 ∥ 22,4 = 8,984 Ω
Req = R1 + 8,984 = 15 + 8,984 = 23,98 Ω
Ответ
Req = 23,98 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: PIs = 4,14 W
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 10)/15 + (VA − VB)/2 = 0
0,65·VA − 0,5·VB = 0,6667
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/4 + (VB − VA)/2 = 1
−0,5·VA + 0,75·VB = 1
Решите
Δ = (0,65)(0,75) − (−0,5)(−0,5) = 0,2375
VA = Δ1/Δ = 1/0,2375 = 4,211 V
VB = Δ2/Δ = 0,9833/0,2375 = 4,14 V
Мощность, отдаваемая источником тока
Источник направляет ток Iₛ вверх в узел B, от земли (0 V) к VB. Источник, ток которого выходит из его вывода +, отдаёт мощность P = V·I.
PIs = VB·Is = 4,14·1 = 4,14 W
Ответ
PIs = 4,14 W
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 8,697 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 36 V, V2 = 12 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/12 + (VA − 36)/5 + (VA − VB)/6 = 0
0,45·VA − 0,1667·VB = 7,2
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/15 + (VB − VA)/6 + (VB − 12)/4 = (−2)
−0,1667·VA + 0,4833·VB = 1
Решите
Δ = (0,45)(0,4833) − (−0,1667)(−0,1667) = 0,1897
VA = Δ1/Δ = 3,647/0,1897 = 19,22 V
VB = Δ2/Δ = 1,65/0,1897 = 8,697 V
Ответ
VB = 8,697 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: Rth = 9,667 Ω
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 8 = 9,667 Ω
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 0,9929 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 25·30/(25+30) = 13,64 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 13,64 + 2 = 15,64 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 9,818 + 1·13,64 = 23,45 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 23,45 + 1·2 = 25,45 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 25,45/(15,64 + 10) = 0,9929 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W = 2,17 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms
i(∞) = Vs/R = 6/10 = 0,6 A
Ток в заданный момент
i(t) = 0,6·(1 − e−5/15) = 0,1701 A
Запасённая энергия
W = ½·L·i² = ½·150·0,1701² = 2,17 mJ
Ответ
W = 2,17 mJ
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: R = 27,28 kΩ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Требуемая постоянная времени
3 = 5·(1 − e−250/τ) → τ = 250/ln(5/(5 − 3))
τ = 250/0,9163 = 272,8 ms
Сопротивление
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
R = τ/C = 272,8/10 = 27,28 kΩ
Ответ
R = 27,28 kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 7,777 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 230/80 = 2,875 A
IX = V/XC = 230/31,83 = 7,226 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(2,875² + 7,226²) = 7,777 A
Ответ
I = 7,777 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,1756 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 10/56,95 = 0,1756 A
Ответ
I = 0,1756 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: I = 52,78 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Ток линии
Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.
I = P/(V·cos φ) = 19000/(400·0,9) = 52,78 A
Ответ
I = 52,78 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 135,5 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 10·tan(45,57°) = 10,2 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar
QC = Q1 − Q2 = 8,171 kvar
Ёмкость
Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 8171/(2π·60·400²) = 135,5 µF
Ответ
C = 135,5 µF
13.Трёхфазная мощность
Ответ: IL = 30,95 A
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Потребляемая электрическая мощность
Pin = Pout/η = 22/0,95 = 23,16 kW
Ток линии
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 23158/(√3·480·0,9) = 30,95 A
Ответ
IL = 30,95 A
14.Трёхфазная мощность
Ответ: QC = 228,2 kvar
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 300·tan(acos 0,72) = 300·0,9639 = 289,2 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,98) = 300·0,2031 = 60,92 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 228,2 kvar
Ответ
QC = 228,2 kvar
15.Трансформаторы
Ответ: ILV = 625 A
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
ILV = S/V = 150000/240 = 625 A
Ответ
ILV = 625 A
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 5822 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.