Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​10 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 15 VR1 = 2 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​25 ΩBR6​6 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 10 VR1 = 12 ΩR2 = 4 ΩR3 = 3 ΩR4 = 25 ΩR5 = 20 ΩR6 = 6 Ω
IR1 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBIs​3 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 6 VIs = 3 AR1 = 4 ΩR2 = 6 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 10 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 15 ΩIR4​+−V1​10 VR3​10 ΩAR5​3 ΩBIs​1,5 A+−V2​30 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR4 через R4 в направлении стрелки.

V1 = 10 VIs = 1,5 AV2 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩR4 = 15 ΩR5 = 3 Ω
IR4 = A
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 3 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAIs​6 ABRL​3 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 3 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.

V1 = 10 VIs = 6 AR1 = 3 ΩR2 = 12 ΩR3 = 30 ΩRL = 3 Ω
PL = W
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
R = 100 Ωt = 0L47 mHi(t)

Через катушку течёт установившийся ток 1 A. При t = 0 ключ замыкает контур через R, а источник отключается, поэтому ток катушки убывает через R. Найдите напряжение vR на R при t = 1 ms.

i(0) = 1 AR = 100 ΩL = 47 mHt = 1 ms
vR = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​15 Vt = 0R = 22 kΩC?+−vC​

Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 11,25 V, ровно через 50 ms после старта. При R = 22 kΩ найдите необходимую ёмкость C.

Vs = 15 VVth = 11,25 VT = 50 msR = 22 kΩ
C = µF
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
50 V60 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4,7 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите активную мощность P, потребляемую от источника.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
P = W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
120 V100 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 4,7 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
I = A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
P = 18 kWQSφ

Однофазный двигатель потребляет 18 kW при коэффициенте мощности 0,85 (индуктивном) от сети 240 V. Найдите ток линии I.

P = 18 kWpf = 0,85V = 240 V
I = A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P1​ = 52 kWQ1​S1​φ

Однофазный трансформатор 200 kVA питает нагрузку 52 kW при коэффициенте мощности 0,7 (индуктивном). Какую дополнительную активную мощность ΔP можно добавить в виде активной нагрузки (коэффициент мощности 1), прежде чем трансформатор достигнет своей номинальной мощности в kVA?

Smax = 200 kVAP1 = 52 kWpf1 = 0,7
ΔP = kW
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M45 kW, η = 91%cos φ = 0,84

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 45 kW. При этой нагрузке его КПД равен 91%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 415 V. Найдите линейный ток IL.

Pout = 45 kWη = 91%cos φ = 0,84VL = 415 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 250 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 250 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
10 ΩN1​N2​640 Ω

Усилитель с выходным сопротивлением 640 Ω питает громкоговоритель 10 Ω через идеальный трансформатор. Для передачи максимальной мощности громкоговоритель должен выглядеть со стороны усилителя как 640 Ω. Найдите коэффициент трансформации a = N₁/N₂.

Rs = 640 ΩRL = 10 Ω
a =
16.ТрансформаторыСложная
pf 0,875 kVA, η = 97,5%

Однофазный трансформатор 75 kVA имеет потери в стали 375 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) его КПД равен 97,5%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.

S = 75 kVAPcore = 375 Wpf = 0,8η = 97,5%
Pcu,fl = W

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 3,971 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 2 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​10 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 6 + 10 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 2·16/(2+16) = 1,778 Ω
Req = R1 + 1,778 = 2 + 1,778 = 3,778 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 15/3,778 = 3,971 A

Ответ

IR1 = 3,971 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,6583 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​25 ΩBR6​6 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 20 + 6 = 26 Ω
R4 ∥ 26 = 12,75 Ω
R3 + 12,75 = 15,75 Ω
R2 ∥ 15,75 = 3,19 Ω
Req = R1 + 3,19 = 12 + 3,19 = 15,19 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/15,19 = 0,6583 A

Ответ

IR1 = 0,6583 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR1 = −0,05769 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 4 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​5 ΩBIs​3 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 6 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/6 + (VA − 6)/4 + (VA − VB)/3 = 0
0,75·VA − 0,3333·VB = 1,5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/5 + (VB − VA)/3 = 3
−0,3333·VA + 0,5333·VB = 3

Решите

Δ = (0,75)(0,5333) − (−0,3333)(−0,3333) = 0,2889
VA = Δ1/Δ = 1,8/0,2889 = 6,231 V
VB = Δ2/Δ = 2,75/0,2889 = 9,519 V

Ответ

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (6 − 6,231)/4 = −0,05769 A
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR4 = −1,444 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 10 ΩR2​ = 15 ΩR4​ = 15 Ω+−V1​10 VR3​10 ΩAR5​3 ΩBIs​1,5 A+−V2​30 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 10 V, V2 = 30 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/10 + (VA − 10)/10 + (VA − VB)/15 = 0
0,2667·VA − 0,06667·VB = 1

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/3 + (VB − VA)/15 + (VB − 30)/15 = 1,5
−0,06667·VA + 0,4667·VB = 3,5

Решите

Δ = (0,2667)(0,4667) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,12
VA = Δ1/Δ = 0,7/0,12 = 5,833 V
VB = Δ2/Δ = 1/0,12 = 8,333 V

Ответ

IR4 = (VB − V2)/R4 = (8,333 − 30)/15 = −1,444 A
5.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 1,667 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 4 ΩR3​ = 6 ΩКЗR2​3 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 4·3/(4+3) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 6 = 7,714 Ω
R1​ = 4 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·3/(4+3) = 12,86 V
IN​1,667 ARth​7,714 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 12,86/7,714 = 1,667 A
6.Тевенин и Нортон

Ответ: PL = 98,07 W

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 3 ΩR3​ = 30 ΩКЗR2​12 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 30 = 32,4 Ω
R1​ = 3 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​10 VR2​12 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 8 + 6·2,4 = 22,4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 22,4 + 6·30 = 202,4 V
Rth​ = 32,4 Ω+−Vth​202,4 VRL​3 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 202,4/(32,4 + 3) = 5,718 A
PL = IL²·RL = 5,718²·3 = 98,07 W
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vR = 11,91 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0,47 ms

Убывание тока

i(t) = 1·e−1/0,47 = 0,1191 A
vR = R·i = 100·0,1191 = 11,91 V

Ответ

vR = 11,91 V
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: C = 1,639 µF

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Требуемая постоянная времени

11,25 = 15·(1 − e−50/τ) → τ = 50/ln(15/(15 − 11,25))
τ = 50/1,386 = 36,07 ms

Ёмкость

kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.

C = τ/R = 36,07/22 = 1,639 µF

Ответ

C = 1,639 µF
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: P = 1,004 W

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 75,4 Ω, XC = 564,4 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(100² + (−489)²) = 499,1 Ω

Активная мощность

Катушки и конденсаторы только запасают и возвращают энергию; всю активную мощность потребляет резистор.

I = 50/499,1 = 0,1002 A
P = I²·R = 0,1002²·100 = 1,004 W

Ответ

P = 1,004 W
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,4333 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (−275,8)²) = 276,9 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/276,9 = 0,4333 A

Ответ

I = 0,4333 A
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: I = 88,24 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Ток линии

Работу совершает только активная часть мощности, поэтому разделите на коэффициент мощности.

I = P/(V·cos φ) = 18000/(240·0,85) = 88,24 A

Ответ

I = 88,24 A
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: ΔP = 140,8 kW

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность существующей нагрузки

Q1 = 52·tan(arccos 0,7) = 53,05 kvar

Наибольшая суммарная активная мощность

При полной нагрузке S = Smax, а Q от активной нагрузки не меняется.

P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 53,05²) = 192,8 kW

Дополнительная активная мощность

ΔP = 192,8 − 52 = 140,8 kW

Ответ

ΔP = 140,8 kW
13.Трёхфазная мощность

Ответ: IL = 81,9 A

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Потребляемая электрическая мощность

Pin = Pout/η = 45/0,91 = 49,45 kW

Ток линии

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 49451/(√3·415·0,84) = 81,9 A

Ответ

IL = 81,9 A
14.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 842,4 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0,8) = 250·0,75 = 187,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 136,7 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 45578/(314,2·415²) = 842,4 µF

Ответ

Cph = 842,4 µF
15.Трансформаторы

Ответ: a = 8

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Согласуйте приведённую нагрузку

a²·10 = 640
a = √(640/10) = √64 = 8

Ответ

a = 8
16.Трансформаторы

Ответ: Pcu,fl = 1163 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Выходная и потребляемая мощность

Pout = 75·0,8 = 60 kW
Pin = 60000/0,975 = 61538 W

Суммарные потери и потери в меди

Ploss = 61538 − 60000 = 1538 W
Pcu,fl = 1538 − 375 = 1163 W

Ответ

Pcu,fl = 1163 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals