Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 4 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 2 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 5 ΩIR1​R3​ = 20 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAR4​6 ΩBR6​10 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 5 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 6 ΩR5 = 2 ΩR6 = 10 Ω
IR1 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​6 ΩBIs​2 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 30 VIs = 2 AR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 Ω
IR1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 30 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​10 VR3​25 ΩAR5​8 ΩBIs​1,5 A+−V2​15 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VB (относительно земли).

V1 = 10 VIs = 1,5 AV2 = 15 VR1 = 30 ΩR2 = 20 ΩR3 = 25 ΩR4 = 10 ΩR5 = 8 Ω
VB = V
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩARL​5 ΩIL​B

К a–b подключена нагрузка RL = 5 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩRL = 5 Ω
IL = A
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAIs​3 ABab

Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.

V1 = 30 VIs = 3 AR1 = 2 ΩR2 = 4 ΩR3 = 4 Ω
Vth = V
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​5 Vt = 0R = 100 ΩL10 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 90% конечного значения? Найдите t.

Vs = 5 VR = 100 ΩL = 10 mH
t = ms
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​30 Vразмыкается при t = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 3,3 kΩi2​C10 µF+−vC​

Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток i2 через R2 при t = 75 ms.

Vs = 30 VR1 = 6,8 kΩR2 = 3,3 kΩC = 10 µFt = 75 ms
i2 = mA
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Vf0​ = 100 HzRL = 10 mHC = ?

Последовательный RLC-контур с L = 10 mH должен резонировать на частоте 100 Hz. Найдите необходимую ёмкость C.

f0 = 100 HzL = 10 mH
C = µF
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
120 V60 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF+−VC​

Последовательная цепь RLC подключена к сети 120 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
VC = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
230 VR + jXP = 2760 W15 A

Индуктивная нагрузка потребляет 15 A и 2760 W от однофазной сети 230 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите R.

V = 230 VI = 15 AP = 2760 W
R = Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,92. Найдите новый ток линии Inew.

P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 208 VIL​ = 25 Acos φ = 0,75отстающий

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 25 A от сети с линейным напряжением 208 V. Коэффициент мощности 0,75 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 208 VIL = 25 Acos φ = 0,75
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 100 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 100 kW при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий) от сети 690 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 100 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
6600 V230 VIHV​ILV​ = ?50 kVA

Однофазный трансформатор 50 kVA, 6600/230 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток ILV в обмотке низшего напряжения.

S = 50 kVAV1 = 6600 VV2 = 230 V
ILV = A
16.ТрансформаторыСложная
pf 0,825 kVA, 25% нагрузка

Однофазный трансформатор 25 kVA имеет потери в стали 150 W и потери в меди 300 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 25% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,8 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.

S = 25 kVAPcore = 150 WPcu,fl = 300 Wx = 0,25pf = 0,8
Ploss = W

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 5,455 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 4 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 4 + 2 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 2·6/(2+6) = 1,5 Ω
Req = R1 + 1,5 = 4 + 1,5 = 5,5 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 30/5,5 = 5,455 A

Ответ

IR1 = 5,455 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,5472 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 5 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​5 VR2​5 ΩAR4​6 ΩBR6​10 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 2 + 10 = 12 Ω
R4 ∥ 12 = 4 Ω
R3 + 4 = 24 Ω
R2 ∥ 24 = 4,138 Ω
Req = R1 + 4,138 = 5 + 4,138 = 9,138 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/9,138 = 0,5472 A

Ответ

IR1 = 0,5472 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR1 = 6 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 3 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​6 ΩBIs​2 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 30 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/2 + (VA − 30)/3 + (VA − VB)/2 = 0
1,333·VA − 0,5·VB = 10

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/6 + (VB − VA)/2 = 2
−0,5·VA + 0,6667·VB = 2

Решите

Δ = (1,333)(0,6667) − (−0,5)(−0,5) = 0,6389
VA = Δ1/Δ = 7,667/0,6389 = 12 V
VB = Δ2/Δ = 7,667/0,6389 = 12 V

Ответ

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (30 − 12)/3 = 6 A
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VB = 12,31 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 30 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 10 Ω+−V1​10 VR3​25 ΩAR5​8 ΩBIs​1,5 A+−V2​15 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 10 V, V2 = 15 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/25 + (VA − 10)/30 + (VA − VB)/20 = 0
0,1233·VA − 0,05·VB = 0,3333

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/8 + (VB − VA)/20 + (VB − 15)/10 = 1,5
−0,05·VA + 0,275·VB = 3

Решите

Δ = (0,1233)(0,275) − (−0,05)(−0,05) = 0,03142
VA = Δ1/Δ = 0,2417/0,03142 = 7,692 V
VB = Δ2/Δ = 0,3867/0,03142 = 12,31 V

Ответ

VB = 12,31 V
5.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 0,1508 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 8 ΩR3​ = 20 ΩКЗR2​6 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 8·6/(8+6) = 3,429 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,429 + 20 = 23,43 Ω
R1​ = 8 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​10 VR2​6 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·6/(8+6) = 4,286 V
Rth​ = 23,43 Ω+−Vth​4,286 VRL​5 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 4,286/(23,43 + 5) = 0,1508 A
6.Тевенин и Нортон

Ответ: Vth = 36 V

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 ΩКЗR2​4 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 2·4/(2+4) = 1,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,333 + 4 = 5,333 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​4 ΩAIs​3 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 20 + 3·1,333 = 24 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 24 + 3·4 = 36 V
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 0,2303 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 100 Ω = 0,1 ms
i(∞) = Vs/R = 5/100 = 0,05 A

Выразите время

0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −0,1·ln(0,1) = 0,2303 ms

Ответ

t = 0,2303 ms
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i2 = 0,306 mA

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное напряжение конденсатора

В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.

vC(0) = 30·3,3/(6,8 + 3,3) = 9,802 V

Постоянная времени после размыкания ключа

τ = R2·C = 3,3·10 = 33 ms

Разряд

vC(t) = 9,802·e−75/33 = 1,01 V
i2 = vC/R2 = 1,01/3,3 = 0,306 mA

Ответ

i2 = 0,306 mA
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: C = 253,3 µF

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Условие резонанса

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,01) = 253,3 µF

Ответ

C = 253,3 µF
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: VC = 138 V

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−489)²) = 490,6 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 120/490,6 = 0,2446 A

Напряжение на конденсаторе

VC = I·XC = 0,2446·564,4 = 138 V

Ответ

VC = 138 V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: R = 12,27 Ω

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Сопротивление по активной мощности

R = P/I² = 2760/15² = 12,27 Ω

Ответ

R = 12,27 Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Inew = 135,9 A

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(49,46°) = 58,46 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(23,07°) = 21,3 kvar
QC = Q1 − Q2 = 37,16 kvar

Новый ток линии

Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(400·0,92) = 135,9 A

Ответ

Inew = 135,9 A
13.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 6,755 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Полная мощность

S = √3·VL·IL = √3·208·25 = 9,007 kVA

Активная мощность

P = S·cos φ = 9,007·0,75 = 6,755 kW

Ответ

P = 6,755 kW
14.Трёхфазная мощность

Ответ: QC = 54,69 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 100·tan(acos 0,8) = 100·0,75 = 75 kvar
Q2 = 100·tan(acos 0,98) = 100·0,2031 = 20,31 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 54,69 kvar

Ответ

QC = 54,69 kvar
15.Трансформаторы

Ответ: ILV = 217,4 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Номинальный ток

Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.

ILV = S/V = 50000/230 = 217,4 A

Ответ

ILV = 217,4 A
16.Трансформаторы

Ответ: Ploss = 168,8 W

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди при этой нагрузке

Pcu = x²·Pcu,fl = 0,0625·300 = 18,75 W

Суммарные потери

Потери в стали одинаковы при любой нагрузке.

Ploss = 150 + 18,75 = 168,8 W

Ответ

Ploss = 168,8 W

КПД при этой нагрузке η = 96,74%.

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals