Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
V1 = 5 VIs = 2 AVs = 12 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 Ω
VB = V
5.Тевенин и НортонСредняя
К a–b подключена нагрузка RL = 12 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
V1 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 20 ΩR3 = 6 ΩRL = 12 Ω
IL = A
6.Тевенин и НортонСложная
К a–b подключена нагрузка RL = 8 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 20 ms.
Vs = 15 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 20 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Ключ был замкнут долгое время, поэтому цепь находится в установившемся режиме. При t = 0 ключ размыкается. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 15 ms.
Vs = 20 VR1 = 1 kΩR2 = 1 kΩC = 33 µFt = 15 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Резистор и конденсатор включены параллельно в сеть 230 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩC = 4,7 µF
|Z| = Ω
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 1000 Hz. Найдите действующее значение напряжения VC на конденсаторе.
V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 20 mHC = 100 µF
VC = V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Индуктивная нагрузка потребляет 20 A и 1200 W от однофазной сети 120 V (действующее значение). Представьте её как сопротивление R, соединённое последовательно с реактивным сопротивлением X. Найдите X.
V = 120 VI = 20 AP = 1200 W
X = Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 45 kW при коэффициенте мощности 0,6 (индуктивном) от сети 400 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите новый ток линии Inew.
P = 45 kWpf1 = 0,6pf2 = 0,95V = 400 Vf = 60 Hz
Inew = A
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 9 + j12 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 400 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 400 VZ = 9 + j12 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 300 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 400 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 300 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 100 kVA, 10000/400 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.
S = 100 kVAV1 = 10000 VV2 = 400 V
IHV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 200 W и потери в меди 600 W при номинальной нагрузке. Он отдаёт 75% номинальной мощности в kVA при коэффициенте мощности 0,95 (отстающий). Найдите суммарные потери Ploss в ваттах при этой нагрузке.
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 10 + 15 = 25 Ω
R2 ∥ 25 = 12·25/(12+25) = 8,108 Ω
Req = R1 + 8,108 = 2 + 8,108 = 10,11 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/10,11 = 1,781 A
Ответ
IR1 = 1,781 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 0,1055 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 6 + 30 = 36 Ω
R4 ∥ 36 = 10,59 Ω
R3 + 10,59 = 40,59 Ω
R2 ∥ 40,59 = 8,023 Ω
Req = R1 + 8,023 = 30 + 8,023 = 38,02 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 5/38,02 = 0,1315 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,1315·30 = 1,055 V
IR2 = VA/R2 = 1,055/10 = 0,1055 A
Ответ
IR2 = 0,1055 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 18,05 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 9 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/10 + (VA − 9)/20 + (VA − VB)/15 = 0
0,2167·VA − 0,06667·VB = 0,45
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + 12
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Решите
(VA − 5)/4 + VA/8 + (VA + 12)/4 = 2
VA·(1/4 + 1/8 + 1/4) = 2 + 5/4 − 12/4 = 0,25
VA = 0,25/0,625 = 0,4 V
VB = 12,4 V
Ответ
VB = 12,4 V
5.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 0,4865 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 10·20/(10+20) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 6 = 12,67 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 18·20/(10+20) = 12 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 12/(12,67 + 12) = 0,4865 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: PL = 4,821 W
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 12·4/(12+4) = 3 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3 + 8 = 11 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,75 + 1·3 = 6,75 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 6,75 + 1·8 = 14,75 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 14,75/(11 + 8) = 0,7763 A
PL = IL²·RL = 0,7763²·8 = 4,821 W
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 0,7983 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0,6818 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−20/6,818 = 0,7983 V
Ответ
vL = 0,7983 V
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vC = 6,347 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Начальное напряжение конденсатора
В установившемся режиме конденсатор — разрыв, поэтому R₁ и R₂ образуют делитель напряжения. Напряжение конденсатора не может измениться скачком при размыкании ключа.
vC(0) = 20·1/(1 + 1) = 10 V
Постоянная времени после размыкания ключа
τ = R2·C = 1·33 = 33 ms
Разряд
vC(t) = 10·e−15/33 = 6,347 V
Ответ
vC = 6,347 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: |Z| = 51,69 Ω
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω
Токи ветвей
Обе ветви подключены прямо к источнику, поэтому к каждой приложено полное напряжение V.
IR = V/R = 230/80 = 2,875 A
IX = V/XC = 230/67,73 = 3,396 A
Общий ток
Ток резистора совпадает по фазе с V, а реактивный ток сдвинут на 90°, поэтому они складываются как катеты прямоугольного треугольника.
I = √(IR² + IX²) = √(2,875² + 3,396²) = 4,45 A
Полное сопротивление
|Z| = V/I = 230/4,45 = 51,69 Ω
Ответ
|Z| = 51,69 Ω
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: VC = 2,868 V
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·100·10⁻⁶) = 1,592 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 230/127,6 = 1,802 A
Напряжение на конденсаторе
VC = I·XC = 1,802·1,592 = 2,868 V
Ответ
VC = 2,868 V
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: X = 5,196 Ω
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Сопротивление по активной мощности
R = P/I² = 1200/20² = 3 Ω
Реактивное сопротивление по полному
|Z| = V/I = 120/20 = 6 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(6² − 3²) = 5,196 Ω
Ответ
X = 5,196 Ω
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Inew = 118,4 A
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 45·tan(53,13°) = 60 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 45·tan(18,19°) = 14,79 kvar
QC = Q1 − Q2 = 45,21 kvar
Новый ток линии
Inew = P/(V·cos φ2) = 45000/(400·0,95) = 118,4 A
Ответ
Inew = 118,4 A
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 6,4 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Фазное напряжение
Vph = 400/√3 = 230,9 V
Фазный ток
|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω
Iph = 230,9/15 = 15,4 A
Полная активная мощность
Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.
P = 3·Iph²·R = 3·15,4²·9 = 6,4 kW
Ответ
P = 6,4 kW
Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 1362 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 300·tan(acos 0,65) = 300·1,169 = 350,7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0,9) = 300·0,4843 = 145,3 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 205,4 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
IHV = S/V = 100000/10000 = 10 A
Ответ
IHV = 10 A
16.Трансформаторы
Ответ: Ploss = 537,5 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.