Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 2 ΩIR1​R3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​3 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 3 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 30 ΩIR1​R3​ = 25 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​3 ΩBR6​15 Ω

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 9 VR1 = 30 ΩR2 = 6 ΩR3 = 25 ΩR4 = 3 ΩR5 = 8 ΩR6 = 15 Ω
IR1 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
−+Vs​ = 4 VIs​5 AAR1​3 ΩR2​12 ΩB

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VA (относительно земли).

Is = 5 AVs = 4 VR1 = 3 ΩR2 = 12 Ω
VA = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 25 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​6 ΩB0,05·VA​

Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,05·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VB (относительно земли).

V1 = 30 VR1 = 25 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 ΩR4 = 6 Ωg = 0,05 A/V
VB = V
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 10 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAIs​0,5 ABRL​8 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 8 Ω. С помощью эквивалента Тевенина найдите мощность PL, передаваемую в нагрузку.

V1 = 12 VIs = 0,5 AR1 = 25 ΩR2 = 30 ΩR3 = 10 ΩRL = 8 Ω
PL = W
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​24 Vt = 0R = 33 ΩL10 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите ток i в момент t = 1 ms.

Vs = 24 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms
i = A
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​24 Vt = 0R = 1 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 2 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 2 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 25 ms.

Vs = 24 VR = 1 kΩC = 10 µFvC(0) = 2 Vt = 25 ms
vC = V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
230 V50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 230 V (действующее значение), 50 Hz. Найдите коэффициент мощности cos φ цепи.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 10 µF
cos φ =
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
VfR = 5 ΩL = 20 mHC = 0,047 µF

Последовательный RLC-контур имеет R = 5 Ω, L = 20 mH и C = 0,047 µF. Найдите его полосу пропускания B (ширину полосы между частотами половинной мощности) в Hz.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,047 µF
B = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
P = 24 kWQ = ?Sφ

Однофазный двигатель потребляет 24 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.

P = 24 kWpf = 0,8V = 400 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
400 V50 Hzнагрузка25 kW, 0,8C330 µFI

Однофазная нагрузка потребляет 25 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 400 V, 50 Hz. Параллельно нагрузке подключён конденсатор 330 µF. Найдите новый коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

P = 25 kWpf1 = 0,8V = 400 Vf = 50 HzC = 330 µF
cos φ =
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 208 VNZ = 3 + j4 Ωна фазу

Симметричная нагрузка, соединённая звездой, с полным сопротивлением 3 + j4 Ω на фазу подключена к симметричной трёхфазной сети с линейным напряжением 208 V. Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.

VL = 208 VZ = 3 + j4 Ω на фазу
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 200 kWφ1​S1​Q2​QC​

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,78 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 50 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены треугольником. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.

P = 200 kWpf1 = 0,78pf2 = 0,98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
RL​ = 10 Ω2012400 VV2​I1​ = ?I2​

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 20:1 приложено 2400 V. К вторичной обмотке подключён резистор 10 Ω. Найдите первичный ток I1.

N1:N2 = 20:1V1 = 2400 VRL = 10 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
500 kVA

Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 1500 W и потери в меди 6000 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 500 kVAPcore = 1500 WPcu,fl = 6000 W
Sη,max = kVA

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,909 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 2 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​15 ΩAR4​3 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 3 + 3 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R1 + 4,286 = 2 + 4,286 = 6,286 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 12/6,286 = 1,909 A

Ответ

IR1 = 1,909 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,2577 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 30 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​9 VR2​6 ΩAR4​3 ΩBR6​15 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 8 + 15 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 2,654 Ω
R3 + 2,654 = 27,65 Ω
R2 ∥ 27,65 = 4,93 Ω
Req = R1 + 4,93 = 30 + 4,93 = 34,93 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 9/34,93 = 0,2577 A

Ответ

IR1 = 0,2577 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: VA = 11,2 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

VB = VA + Vs = VA + 4
VA/R1 + VB/R2 = Is

Решите

VA/3 + (VA + 4)/12 = 5
VA = (5 − 4/12)/(1/3 + 1/12) = 11,2 V
VB = 11,2 + 4 = 15,2 V

Ответ

VA = 11,2 V
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VB = 2,695 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,44·VA − 0,2·VB = 1,2

ЗТК в узле B

Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,05·VA
−0,25·VA + 0,3667·VB = 0

Решите

Δ = (0,44)(0,3667) − (−0,2)(−0,25) = 0,1113
VA = Δ1/Δ = 0,44/0,1113 = 3,952 V
VB = Δ2/Δ = 0,3/0,1113 = 2,695 V

Ответ

VB = 2,695 V
5.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 0,4819 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​8 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 2 = 7,217 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​10 VR2​8 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·8/(15+8) = 3,478 V
IN​0,4819 ARth​7,217 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 3,478/7,217 = 0,4819 A
6.Тевенин и Нортон

Ответ: PL = 2,695 W

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 25 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​30 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 25·30/(25+30) = 13,64 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 13,64 + 10 = 23,64 Ω
R1​ = 25 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​30 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,545 + 0,5·13,64 = 13,36 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 13,36 + 0,5·10 = 18,36 V
Rth​ = 23,64 Ω+−Vth​18,36 VRL​8 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 18,36/(23,64 + 8) = 0,5805 A
PL = IL²·RL = 0,5805²·8 = 2,695 W
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,7004 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms
i(∞) = Vs/R = 24/33 = 0,7273 A

Ток в заданный момент

i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0,7273·(1 − e−1/0,303) = 0,7004 A

Ответ

i = 0,7004 A
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 22,19 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms
vC(t) = 24 + (2 − 24)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(25) = 24 + (−22)·e−25/10 = 22,19 V

Ответ

vC = 22,19 V
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: cos φ = 0,163

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

XL = 15,71 Ω, XC = 318,3 Ω

Полное сопротивление

|Z| = √(50² + (−302,6)²) = 306,7 Ω

Коэффициент мощности

cos φ = R/|Z| = 50/306,7 = 0,163
Цепь ёмкостная, поэтому коэффициент мощности опережающий.

Ответ

cos φ = 0,163
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: B = 39,79 Hz

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонансная частота

f0 = 1/(2π·√(0,02·0,047·10⁻⁶)) = 5191 Hz

Добротность

Добротность сравнивает реактивное сопротивление при резонансе с активным: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(0,047·10⁻⁶)) = 130,5

Полоса пропускания

B = f0/Q = 5191/130,5 = 39,79 Hz

Ответ

B = 39,79 Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: Q = 18 kvar

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Угол

φ = arccos(0,8) = 36,87°, tan φ = 0,75

Реактивная мощность

Q = P·tan φ = 24·0,75 = 18 kvar

Ответ

Q = 18 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9963

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = 25·tan(arccos 0,8) = 18,75 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·330·10⁻⁶ = 16588 var = 16,59 kvar
Q2 = 18,75 − 16,59 = 2,162 kvar

Новая полная мощность

S2 = √(25² + 2,162²) = 25,09 kVA

Новый коэффициент мощности

cos φ = P/S2 = 25/25,09 = 0,9963

Ответ

cos φ = 0,9963
13.Трёхфазная мощность

Ответ: P = 5,192 kW

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Фазное напряжение

Vph = 208/√3 = 120,1 V

Фазный ток

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω
Iph = 120,1/5 = 24,02 A

Полная активная мощность

Активную мощность потребляет только активная составляющая каждого сопротивления.

P = 3·Iph²·R = 3·24,02²·3 = 5,192 kW

Ответ

P = 5,192 kW

Проверка: cos φ = R/|Z| = 0,6, и √3·VL·IL·cos φ даёт ту же мощность.

14.Трёхфазная мощность

Ответ: Cph = 738,3 µF

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 200·tan(acos 0,78) = 200·0,8023 = 160,5 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,98) = 200·0,2031 = 40,61 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 119,8 kvar

Ёмкость на фазу

В батарее, соединённой треугольником, каждый конденсатор включён между двумя линейными проводами.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 39948/(314,2·415²) = 738,3 µF

Ответ

Cph = 738,3 µF
15.Трансформаторы

Ответ: I1 = 0,6 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V2 = 2400/20 = 120 V
I2 = 120/10 = 12 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/20 = 0,6 A

Ответ

I1 = 0,6 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 4000 Ω, и 2400/4000 даёт тот же ток.

16.Трансформаторы

Ответ: Sη,max = 250 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·6000 = 1500 → x = √(1500/6000) = 0,5

Нагрузка при максимальном КПД

Sη,max = x·S = 0,5·500 = 250 kVA

Ответ

Sη,max = 250 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals