Основы электротехники: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Полные сопротивления
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Угловая частота
ω = 2πf
Модуль и угол
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Закон Ома в комплексной форме
V = I·Z

Метод

  1. Переведите частоту: ω = 2πf.
  2. Найдите каждое реактивное сопротивление: XL = ωL и XC = 1/(ωC).
  3. Складывайте сопротивления как у резисторов, с Z = R + jX.
  4. Найдите модуль |Z| = √(R² + X²) и угол φ = atan(X/R), затем примените закон Ома для комплексных амплитуд.

Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Активная мощность
P = V·I·cos φ
Реактивная мощность
Q = V·I·sin φ
Полная мощность
S = V·I = √(P² + Q²)
Коэффициент мощности
pf = cos φ = P/S
Компенсирующий конденсатор
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Трёхфазная мощность

Соединение звездой (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Соединение треугольником (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Полная активная мощность
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Полная и реактивная мощность
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Компенсирующие конденсаторы
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Напряжение на каждом конденсаторе
Δ: VL Y: VL/√3
Потребляемая мощность двигателя
Pin = Pout/η

Трансформаторы

Коэффициент трансформации
a = N1/N2 = V1/V2
Отношение токов
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
Номинальный ток
I = S/V
Приведённое сопротивление
Z1′ = a²·ZL
Потери в меди при неполной нагрузке
Pcu = x²·Pcu,fl
КПД
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
Максимальный КПД
x = √(Pcore/Pcu,fl)

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 6 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 10 VR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 12 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBR6​10 Ω

Найдите эквивалентное сопротивление Req, которое видит источник V1.

V1 = 30 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 ΩR5 = 30 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 12 ΩIR1​R3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​10 ΩBIs​1,5 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 15 VIs = 1,5 AR1 = 12 ΩR2 = 6 ΩR3 = 20 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 12 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​12 VR2​3 ΩAR4​5 ΩB0,5·VA​

Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,5·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите узловое напряжение VA (относительно земли).

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩR4 = 5 Ωg = 0,5 A/V
VA = V
5.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 10 ΩR3​ = 3 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAab

Найдите сопротивление Тевенина Rth со стороны зажимов a–b.

V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 Ω
Rth = Ω
6.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​0,5 ABRL​30 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 30 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 12 VIs = 0,5 AR1 = 15 ΩR2 = 25 ΩR3 = 2 ΩRL = 30 Ω
IL = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​24 Vt = 0R = 47 ΩL33 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 1 ms.

Vs = 24 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms
vL = V
8.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​15 Vt = 0R = 3,3 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 5 V с указанной полярностью. Через какое время vC достигнет 12 V? Найдите t.

Vs = 15 VR = 3,3 kΩC = 10 µFvC(0) = 5 V
t = ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
10 V100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4,7 µFI

Последовательная цепь RLC подключена к сети 10 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите действующее значение тока I.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
50 V100 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 100 Hz. Найдите резонансную частоту f0 цепи.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
f0 = Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
400 V13 kW, 0,75214 kW, 0,95I

К однофазной сети 400 V параллельно подключены две нагрузки: нагрузка 3 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) и нагрузка 14 kW при коэффициенте мощности 0,95 (ёмкостном). Найдите общий коэффициент мощности cos φ со стороны сети.

V = 400 VP1 = 3 kW, pf1 = 0,75 отстающийP2 = 14 kW, pf2 = 0,95 опережающий
cos φ =
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
P = 40 kWQ1​S1​φ1​QC​

Однофазная нагрузка потребляет 40 kW при коэффициенте мощности 0,75 (индуктивном) от сети 240 V, 50 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,95. Найдите необходимую ёмкость C.

P = 40 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95V = 240 Vf = 50 Hz
C = µF
13.Трёхфазная мощностьСредняя
ABCVL​ = 400 VIL​ = ?M110 kW, η = 92%cos φ = 0,84

Трёхфазный асинхронный двигатель при полной нагрузке развивает механическую мощность 110 kW. При этой нагрузке его КПД равен 92%, а коэффициент мощности 0,84 (отстающий). Линейное напряжение сети 400 V. Найдите линейный ток IL.

Pout = 110 kWη = 92%cos φ = 0,84VL = 400 V
IL = A
14.Трёхфазная мощностьСложная
P = 50 kWφ1​S1​Q2​QC​ = ?

Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 50 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 480 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,98 (отстающий). Активная мощность не меняется. Найдите полную реактивную мощность QC, которую должна выдавать конденсаторная батарея, в kvar.

P = 50 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,98VL = 480 Vf = 60 Hz
QC = kvar
15.ТрансформаторыСредняя
RL​ = 15 Ω1012300 VV2​I1​ = ?I2​

К первичной обмотке идеального трансформатора с коэффициентом трансформации N₁:N₂ = 10:1 приложено 2300 V. К вторичной обмотке подключён резистор 15 Ω. Найдите первичный ток I1.

N1:N2 = 10:1V1 = 2300 VRL = 15 Ω
I1 = A
16.ТрансформаторыСложная
50 kVA

Однофазный трансформатор 50 kVA имеет потери в стали 300 W и потери в меди 600 W при номинальной нагрузке. При какой нагрузке Sη,max, в kVA, его КПД максимален?

S = 50 kVAPcore = 300 WPcu,fl = 600 W
Sη,max = kVA

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,098 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 6 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​10 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 10 + 4 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω
Req = R1 + 3,111 = 6 + 3,111 = 9,111 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 10/9,111 = 1,098 A

Ответ

IR1 = 1,098 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: Req = 14,09 Ω

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 12 ΩR3​ = 5 ΩR5​ = 30 Ω+−V1​30 VR2​3 ΩAR4​2 ΩBR6​10 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 30 + 10 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 1,905 Ω
R3 + 1,905 = 6,905 Ω
R2 ∥ 6,905 = 2,091 Ω
Req = R1 + 2,091 = 12 + 2,091 = 14,09 Ω

Ответ

Req = 14,09 Ω
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR1 = 0,7353 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 12 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​15 VR2​6 ΩAR4​10 ΩBIs​1,5 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/6 + (VA − 15)/12 + (VA − VB)/20 = 0
0,3·VA − 0,05·VB = 1,25

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/20 = 1,5
−0,05·VA + 0,15·VB = 1,5

Решите

Δ = (0,3)(0,15) − (−0,05)(−0,05) = 0,0425
VA = Δ1/Δ = 0,2625/0,0425 = 6,176 V
VB = Δ2/Δ = 0,5125/0,0425 = 12,06 V

Ответ

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (15 − 6,176)/12 = 0,7353 A
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VA = 3,319 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.

(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,5417·VA − 0,125·VB = 1

ЗТК в узле B

Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.

(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,5·VA
−0,625·VA + 0,325·VB = 0

Решите

Δ = (0,5417)(0,325) − (−0,125)(−0,625) = 0,09792
VA = Δ1/Δ = 0,325/0,09792 = 3,319 V
VB = Δ2/Δ = 0,625/0,09792 = 6,383 V

Ответ

VA = 3,319 V
5.Тевенин и Нортон

Ответ: Rth = 4,667 Ω

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 3 ΩКЗR2​2 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 3 = 4,667 Ω
6.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 0,3187 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 15 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​25 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 15·25/(15+25) = 9,375 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 9,375 + 2 = 11,38 Ω
R1​ = 15 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​12 VR2​25 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 0,5·9,375 = 12,19 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12,19 + 0,5·2 = 13,19 V
Rth​ = 11,38 Ω+−Vth​13,19 VRL​30 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 13,19/(11,38 + 30) = 0,3187 A
7.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vL = 5,777 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms
i(∞) = Vs/R = 24/47 = 0,5106 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 24·e−1/0,7021 = 5,777 V

Ответ

vL = 5,777 V
8.Переходные процессы RC и RL

Ответ: t = 39,73 ms

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 15 + (5 − 15)·e−t/τ

Выразите время

12 = 15 + (−10)·e−t/τ → e−t/τ = (12 − 15)/(5 − 15) = 0,3
t = τ·ln((5 − 15)/(12 − 15)) = 33·ln(3,333) = 39,73 ms

Ответ

t = 39,73 ms
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: I = 0,04615 A

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Реактивные сопротивления

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Полное сопротивление

При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−213)²) = 216,7 Ω

Ток

Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.

I = V/|Z| = 10/216,7 = 0,04615 A

Ответ

I = 0,04615 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды

Ответ: f0 = 479,9 Hz

Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.

Резонанс

При резонансе индуктивное и ёмкостное сопротивления компенсируют друг друга: ωL = 1/(ωC). Частота сети не важна.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·2,2·10⁻⁶)) = 479,9 Hz

Ответ

f0 = 479,9 Hz
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: cos φ = 0,9934

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность каждой нагрузки

Индуктивная нагрузка потребляет реактивную мощность (Q > 0); ёмкостная — отдаёт её (Q < 0).

Q1 = 3·tan(arccos 0,75) = 2,646 kvar
Q2 = −14·tan(arccos 0,95) = −4,602 kvar

Суммы

P = 3 + 14 = 17 kW
Q = 2,646 + (−4,602) = −1,956 kvar
S = √(17² + (−1,956)²) = 17,11 kVA

Общий коэффициент мощности

cos φ = P/S = 17/17,11 = 0,9934 опережающий

Ответ

cos φ = 0,9934
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности

Ответ: C = 1223 µF

Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.

Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(41,41°) = 35,28 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(18,19°) = 13,15 kvar
QC = Q1 − Q2 = 22,13 kvar

Ёмкость

Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.

C = QC/(2πf·V²) = 22129/(2π·50·240²) = 1223 µF

Ответ

C = 1223 µF
13.Трёхфазная мощность

Ответ: IL = 205,4 A

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Потребляемая электрическая мощность

Pin = Pout/η = 110/0,92 = 119,6 kW

Ток линии

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 119565/(√3·400·0,84) = 205,4 A

Ответ

IL = 205,4 A
14.Трёхфазная мощность

Ответ: QC = 48,3 kvar

Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.

Реактивная мощность до и после

Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.

Q1 = 50·tan(acos 0,65) = 50·1,169 = 58,46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,98) = 50·0,2031 = 10,15 kvar

Реактивная мощность конденсаторов

QC = Q1 − Q2 = 48,3 kvar

Ответ

QC = 48,3 kvar
15.Трансформаторы

Ответ: I1 = 1,533 A

Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.

Вторичные напряжение и ток

V2 = 2300/10 = 230 V
I2 = 230/15 = 15,33 A

Первичный ток

Идеальный трансформатор не имеет потерь: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/10 = 1,533 A

Ответ

I1 = 1,533 A

Проверка: нагрузка со стороны первичной обмотки равна a²·RL = 1500 Ω, и 2300/1500 даёт тот же ток.

16.Трансформаторы

Ответ: Sη,max = 35,36 kVA

Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.

Потери в меди равны потерям в стали

x²·600 = 300 → x = √(300/600) = 0,7071

Нагрузка при максимальном КПД

Sη,max = x·S = 0,7071·50 = 35,36 kVA

Ответ

Sη,max = 35,36 kVA

ExamProblems · examproblems.com/courses/electrical-engineering-fundamentals