Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у B, поэтому он задаёт VB − VA = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VB (относительно земли).
Is = 1,5 AVs = 9 VR1 = 8 ΩR2 = 5 Ω
VB = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR4 через R4 в направлении стрелки.
К a–b подключена нагрузка RL = 20 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 8 ΩR3 = 2 ΩRL = 20 Ω
IL = A
6.Тевенин и НортонСложная
Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.
V1 = 10 VIs = 2,5 AR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 30 Ω
IN = A
7.Переходные процессы RC и RLСредняя
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W, запасённую в катушке при t = 5 ms, в mJ.
Vs = 9 VR = 20 ΩL = 100 mHt = 5 ms
W = mJ
8.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 15 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 9 V, ровно через 20 ms после старта. При C = 1 µF найдите необходимое сопротивление R.
Vs = 15 VVth = 9 VT = 20 msC = 1 µF
R = kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСредняя
Последовательная цепь RLC подключена к сети 50 V (действующее значение), 60 Hz. Найдите действующее значение тока I.
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 47 µF
I = A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитудыСложная
Резистор R1 включён последовательно с параллельным соединением R2 и конденсатора C в сеть 12 V (действующее значение), 500 Hz. Найдите модуль полного сопротивления |Z|.
V = 12 V (rms)f = 500 HzR1 = 25 ΩR2 = 60 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСредняя
Однофазный двигатель потребляет 34 kW при коэффициенте мощности 0,65 (индуктивном) от сети 400 V. Найдите реактивную мощность Q, которую он потребляет.
P = 34 kWpf = 0,65V = 400 V
Q = kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощностиСложная
Однофазная нагрузка потребляет 35 kW при коэффициенте мощности 0,8 (индуктивном) от сети 230 V, 60 Hz. Параллельно подключённый конденсатор повышает коэффициент мощности до 0,9. Найдите необходимую ёмкость C.
P = 35 kWpf1 = 0,8pf2 = 0,9V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
13.Трёхфазная мощностьСредняя
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет линейный ток 75 A от сети с линейным напряжением 690 V. Коэффициент мощности 0,95 (отстающий). Найдите полную активную мощность P, потребляемую нагрузкой, в kW.
VL = 690 VIL = 75 Acos φ = 0,95
P = kW
14.Трёхфазная мощностьСложная
Симметричная трёхфазная нагрузка потребляет 200 kW при коэффициенте мощности 0,65 (отстающий) от сети 415 V (линейное), 60 Hz. Трёхфазная конденсаторная батарея, включённая параллельно нагрузке, должна повысить общий коэффициент мощности до 0,9 (отстающий). Активная мощность не меняется. Конденсаторы соединены звездой. Найдите ёмкость Cph каждого конденсатора в µF.
P = 200 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,9VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
15.ТрансформаторыСредняя
Однофазный трансформатор 500 kVA, 4160/480 V работает при номинальной нагрузке. Считайте его идеальным. Найдите ток IHV в обмотке высшего напряжения.
S = 500 kVAV1 = 4160 VV2 = 480 V
IHV = A
16.ТрансформаторыСложная
Однофазный трансформатор 500 kVA имеет потери в стали 2000 W. При номинальной нагрузке и коэффициенте мощности 0,85 (отстающий) его КПД равен 96%. Найдите потери в меди при номинальной нагрузке Pcu,fl в ваттах.
S = 500 kVAPcore = 2000 Wpf = 0,85η = 96%
Pcu,fl = W
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 2,64 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 5 + 6 = 11 Ω
R2 ∥ 11 = 3·11/(3+11) = 2,357 Ω
Req = R1 + 2,357 = 3 + 2,357 = 5,357 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 18/5,357 = 3,36 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 18 − 3,36·3 = 7,92 V
IR2 = VA/R2 = 7,92/3 = 2,64 A
Ответ
IR2 = 2,64 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 20,63 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 25 + 2 = 27 Ω
R4 ∥ 27 = 12,98 Ω
R3 + 12,98 = 18,98 Ω
R2 ∥ 18,98 = 5,628 Ω
Req = R1 + 5,628 = 15 + 5,628 = 20,63 Ω
Ответ
Req = 20,63 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: VB = 8,077 V
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Образуем супер-узел
Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.
VB = VA + Vs = VA + 9
VA/R1 + VB/R2 = Is
Решите
VA/8 + (VA + 9)/5 = 1,5
VA = (1,5 − 9/5)/(1/8 + 1/5) = −0,9231 V
VB = −0,9231 + 9 = 8,077 V
Ответ
VB = 8,077 V
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR4 = −1,631 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 18 V, V2 = 18 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/10 + (VA − 18)/30 + (VA − VB)/15 = 0
0,2·VA − 0,06667·VB = 0,6
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 4·8/(4+8) = 2,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,667 + 2 = 4,667 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·8/(4+8) = 20 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 20/(4,667 + 20) = 0,8108 A
6.Тевенин и Нортон
Ответ: IN = 2,738 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 2·6/(2+6) = 1,5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,5 + 30 = 31,5 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,5 + 2,5·1,5 = 11,25 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 11,25 + 2,5·30 = 86,25 V
Эквивалент Нортона
Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.
IN = Vth/Rth = 86,25/31,5 = 2,738 A
7.Переходные процессы RC и RL
Ответ: W = 4,046 mJ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms
i(∞) = Vs/R = 9/20 = 0,45 A
Ток в заданный момент
i(t) = 0,45·(1 − e−5/5) = 0,2845 A
Запасённая энергия
W = ½·L·i² = ½·100·0,2845² = 4,046 mJ
Ответ
W = 4,046 mJ
8.Переходные процессы RC и RL
Ответ: R = 21,83 kΩ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Требуемая постоянная времени
9 = 15·(1 − e−20/τ) → τ = 20/ln(15/(15 − 9))
τ = 20/0,9163 = 21,83 ms
Сопротивление
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
R = τ/C = 21,83/1 = 21,83 kΩ
Ответ
R = 21,83 kΩ
9.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: I = 0,4914 A
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивные сопротивления
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω
Полное сопротивление
При последовательном соединении полные сопротивления складываются как комплексные числа: Z = R + j(XL − XC).
Через каждый элемент последовательной цепи течёт один и тот же ток.
I = V/|Z| = 50/101,7 = 0,4914 A
Ответ
I = 0,4914 A
10.Полное сопротивление и комплексные амплитуды
Ответ: |Z| = 45,55 Ω
Цепи переменного тока и комплексный метод: резисторы, катушки и конденсаторы имеют полные сопротивления R, jωL и 1/(jωC), где ω = 2πf. При последовательном соединении полные сопротивления складываются как сопротивления, но как комплексные числа. Действующие значения тока и напряжения подчиняются закону Ома с |Z|.
Реактивное сопротивление
XC = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω
Параллельное соединение
Умножьте числитель и знаменатель на комплексно сопряжённое число, чтобы разделить Zp на действительную и мнимую части.
11.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: Q = 39,75 kvar
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Угол
φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169
Реактивная мощность
Q = P·tan φ = 34·1,169 = 39,75 kvar
Ответ
Q = 39,75 kvar
12.Мощность переменного тока и коэффициент мощности
Ответ: C = 466,3 µF
Мощность переменного тока: полная мощность S = V·I (VA) складывается из активной мощности P = S·cos φ (W), совершающей полезную работу, и реактивной мощности Q = S·sin φ (var), которая колеблется между источником и нагрузкой. Коэффициент мощности — cos φ. Параллельный конденсатор поставляет реактивную мощность на месте, поэтому ток линии уменьшается при той же активной мощности.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность P не меняется; меняется только реактивная мощность из сети.
Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(36,87°) = 26,25 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(25,84°) = 16,95 kvar
QC = Q1 − Q2 = 9,299 kvar
Ёмкость
Конденсатор, подключённый к сети, поставляет Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 9299/(2π·60·230²) = 466,3 µF
Ответ
C = 466,3 µF
13.Трёхфазная мощность
Ответ: P = 85,15 kW
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Полная мощность
S = √3·VL·IL = √3·690·75 = 89,63 kVA
Активная мощность
P = S·cos φ = 89,63·0,95 = 85,15 kW
Ответ
P = 85,15 kW
14.Трёхфазная мощность
Ответ: Cph = 2109 µF
Симметричные трёхфазные системы: при соединении звездой (Y) линейное напряжение в √3 раз больше фазного, VL = √3·Vph, а линейный ток равен фазному. При соединении треугольником (Δ) линейное напряжение равно фазному, а линейный ток в √3 раз больше фазного, IL = √3·Iph. Полная мощность в три раза больше мощности одной фазы: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Компенсация реактивной мощности: конденсаторы вырабатывают реактивную мощность на месте, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Каждый из трёх конденсаторов даёт QC/3 = V²·ω·C, где V — напряжение на этом конденсаторе: VL в батарее, соединённой треугольником, VL/√3 — в батарее, соединённой звездой.
Реактивная мощность до и после
Активная мощность не меняется, поэтому каждый коэффициент мощности задаёт реактивную мощность: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,65) = 200·1,169 = 233,8 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,9) = 200·0,4843 = 96,86 kvar
Реактивная мощность конденсаторов
QC = Q1 − Q2 = 137 kvar
Ёмкость на фазу
В батарее, соединённой звездой, каждый конденсатор включён между линейным проводом и нейтральной точкой.
Идеальный трансформатор: напряжения относятся как числа витков, а токи — обратно: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a и I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a, поэтому входная мощность равна выходной, V₁·I₁ = V₂·I₂. Сопротивление нагрузки Z во вторичной цепи со стороны первичной обмотки выглядит как a²·Z.
Номинальный ток
Через обе обмотки передаётся одинаковая полная мощность.
IHV = S/V = 500000/4160 = 120,2 A
Ответ
IHV = 120,2 A
16.Трансформаторы
Ответ: Pcu,fl = 15708 W
Потери в трансформаторе: потери в стали (гистерезис и вихревые токи) зависят от напряжения и одинаковы при любой нагрузке. Потери в меди обмоток пропорциональны квадрату тока, поэтому при доле x от номинальной нагрузки они равны x²·Pcu,fl. КПД η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu), где Pout = x·S·pf. КПД максимален при той нагрузке, при которой потери в меди равны потерям в стали.